【正文】 ??02122??若 k 為奇數，奇函數對稱積分 ??,5,3,10 ?? kk?則： dtettkkk ??? ??02222???的一切奇數的階乘到表示從注意 1!)!1( ?? kk 1第十一講 大數定理與正態(tài)分布 例題 1121(87,數學一） ._ _ _ _ _ _ _ _)(_ _ _ _ _ ,)(,1)( 122??? ???xDxEexfX xx 則的概率密度為已知?度恒等變形為正態(tài)分布密解：將 X 22 2)(21)( ??????? xexf222 )212(121221211)(－＋－＝xxxx eexf??????21)(,1)(),21,1(~ 2 ???? ?? xDxENX 其中：則22)212()1(2121???xe?第十一講 大數定理與正態(tài)分布 第十一講 大數定理與正態(tài)分布 例題 1122（ 2021， 4分） ._ _ _ _ _ _)()(),21()()(???????XExxxxFX函數，則為標準正態(tài)分布的分布其中的分布函數為設隨機變量]21[21)21()()()(),(的復合函數是注意由密度與分布的關系：的密度為分析：設xxxxxFxfxfX??????? ????? ???????????? ???? dxxxdxxxdxxxfEX )2 1()()( ??故只要積第二個即可，為為奇函數對稱區(qū)間積分是偶函數，注意到 0)()( xxx ??? ?? ???? ???????? ????? dttdtttdtttEX )()()()12( ???)()(700 ??????? ? ???? dtt?.二維隨機變量 ( X,Y ) 的正態(tài)分布概率密度表示如下： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ??????????22 22 22121 2121, yyyxyxxx yyxrxryxeryxf ???????????其中，參數 及 分別是隨機變量 X 及 Y 的數 學期望， x? y?及 分別是它們的標準差， x? y?參數 參數 r 是它們的相關系數。423)(。 第十一講 大數定理與正態(tài)分布 第十一講 大數定理與正態(tài)分布 例題 1113（ 2021， 4分） .2)(。30 ???? XPXPXP解 ? ?30 ?? XP ?????? ???????? ??210 213 ?? ? ? ? ? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ??? ?? 16 9 1 4 1 ??? .?? ? )1(1 ? ???? ?XP ?????? ?? 2 11 ? ? ?0 ?? .?? ?4?XP?????? ??? 2 141 ?? ?41 ??? XP ? ? ??? .??,3,2,1?k 若 , 求 X 落在區(qū)間 內的概率， ? ????? kk ?? ,其中 例題 1112 ? ?2,~ ??NX第十一講 大數定理與正態(tài)分布 解 ? ????????? kXkP ? ?????? kXP?????? ??? ? ???? k? ? 12 ?? k?查表得 ? ? ? ? 6 8 2 ????????XP? ? ? ? 9 5 4 ????????XP? ? ? ? 9 9 7 ????????XP? ? ? ? ????????XP? ? ? ?kk ??? ???????? ???????? k? ? 9 9 9 9 9 9 )5(25 ????????XP ?????????? ? ? ? ????? ???XP注意到：? ? 9 7 ?????? ??XP第十一講 大數定理與正態(tài)分布 O??21? ?xfx? ??? ?? 2? ?? 3?????? 2??? 3?拐點 拐點 隨機變量 X 落在 ? ????? 3,3 ?? 之外的概率小于 3‰ 。P?1111 ? ?,2,1~ 2NX若 求 ? ? ? ? ? ?.4 。 其概率密度為 ? ? ??????? ? xex x ,21 22??? ?1,0N1,0 ?? ?? 的密度曲線 ? ?2,??NO??21? ?xfx?? ?? ?22221 ???????xexf若固定 μ=0 O? ?xfx第十一講 大數定理與正態(tài)分布 第十一講 大數定理與正態(tài)分布 ? ?積分的特殊性函數，還具有對稱區(qū)間標準正態(tài)密度由于是偶，數的非負規(guī)范性，另外首先都具有一般密度函和標準正態(tài)密度的密度正態(tài)密度22222221)(21)(),(xxexexfN??????????? ??12122212221)(1)()(02022222????????????? ?????????????????dxedxedxexdxxdxxfxxx??????? 是偶函數且 ?212121020 222??? ?? ?? ???? dxedxe xx??第十一講 大數定理與正態(tài)分布 O1? ?xFx ?? ?的表達式為：因此，正態(tài)分布 2, ??N? ?? ?dtexF xt? ????? 222 21 ???? ? ????? x dxxfxFxFxf )()(),()(的關系式是首先：分布函數與密度的關系式為：與其密度，則為量的分布函數特殊地，設標準正態(tài)變)()()( xxx ???dtedxxxxxtxx2221)()(),()( ????? ?????? ?????? ?? ?dxexFxFxXxPxxx???????? 2122 21221 21)()( ? ???)().5 xFx 求（用 ??????????? ????????1222 2 22121 x tx t dtedte???? xt?????????212221 xxtdte)()()()()()()( 12121221 ? ?? ? ??????????????? xxttxFxFxXxP查表 )()()()(,22221???? ?????????????????xxxXPxx 也可求單側概率：[注 1] ? ? ? ?xx ?? ??? 1)()( xXPxXPy ????軸對稱，即標準正態(tài)分布密度關于?)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（（即?????????????[注 2] 可以推出單側概率，上式 ???????????? 21 ,)0(,1)( xx第十一講 大數定理與正態(tài)分布 。 ??????????????21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxXxPxFxfdxxfxFxFxXPX，或且的密度與分布關系如下我們已知連續(xù)隨機變量第十一講 大數定理與正態(tài)分布 ? ?., 2??N記作 其中 ? 及 ? ＞ 0都為常數，這種分布叫做 正態(tài)分布 或 高斯分布 。 18世紀科學家發(fā)現測量的誤差具有驚人的規(guī)律性，這種規(guī)律性滿足類似于某種特殊的 “ 中間大，兩頭小 ” 的特征，現實中眾多的問題都具有這種特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究類似現象并