經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-展示頁
2024-09-12 01:20本頁面
【正文】 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù) . —— 對數(shù)求導(dǎo)法 適用范圍 : .)( )( 的情形函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘除或冪指 xvxu例 4 解 ]142)1(3 111[)4( 1)1( 23??????? ????? xxxex xxy x等式兩邊取對數(shù)得 xxxxy ??????? )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得上式兩邊對 x142)1(3 111 ???????? xxxyy.,)4( 1)1( 23yex xxy x ?? ??? 求設(shè)例 5 解 .),0(s i n yxxy x ??? 求設(shè)等式兩邊取對數(shù)得 xxy lns inln ??求導(dǎo)得上式兩邊對 xxxxxyy1s inlnc o s1 ?????)1s inln( c o s xxxxyy ??????)s inln( c oss i n x xxxx x ???一般地 )0)(()()( )( ?? xuxuxf xv)(d d)(1)(lnd d xfxxfxfx ???又)(lndd)()( xfxxfxf ????])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????)(ln)()(ln xuxvxf ???※ 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,)()(定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系與確定若參數(shù)方程 xytytx???????例如 ?????,22tytx2xt ?22 )2(xty ???42x? xy 21???消去參數(shù) 問題 : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo) ? t(differentiation of functions represented parametrically) ),()( 1 xttx ??? ?? 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù))]([ 1 xy ??? ??,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得 xttyxydddddd ??txtydd1dd ??)()(tt?????txtyxydddddd?即,)( )( 中在方程???????tytx,)( )( 二階可導(dǎo)若函數(shù)?????tψytx ?)dd(dddd 22xyxxy ?xtttψt dd))()((dd? ???)(1)()()()()(2 tttttt?????????????????.)( )()()()(dd 322tttttψxy?????????????即例 6 解 txtyxydddddd?ttcos1s in?? taatac oss in??2πc os12πs i ndd2π????txy.1?.方程處的切線在求擺線 2π)c os1( )s i n( ???????? ttayttax.),12π(,2π ayaxt ???? 時(shí)當(dāng) 所求切線方程為 )12π( ???? axay)2π2( ??? axy即例 7 解 .)2(。 對數(shù)求導(dǎo)法 : 對方程兩邊取對數(shù) ,按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo) 。 思考題 一工廠有 x名技術(shù)工人和 y 名非技術(shù)工人每天可生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量為 yxyxf 2),( ? (件 ) 現(xiàn)有 16名技術(shù)工人和 32名非技術(shù)工人 , 而廠長計(jì)劃再雇用一名技術(shù)工人 . 試求廠長如何調(diào)整非技術(shù)工人的人數(shù) , 可保持產(chǎn)品產(chǎn)量不變？ 解 現(xiàn)在產(chǎn)品產(chǎn)量為 f (16,32)=8192件 , 保持這種產(chǎn)量的函數(shù)曲線為 f ( x, y)= =8192 對于任一給定值 x 每增加一名技術(shù)工人時(shí) y 的變化量即為這函數(shù)曲線切線的斜率 . dxdy.2dd02 2xyxyyxxy????? ；yx 2(1) (1)式兩端對 x求導(dǎo)，整理得： xyxy 2dd ??為即非技術(shù)工人的變化量時(shí)，可得當(dāng) 32,16 ?? yx4dd ??xy 因此廠長要增加一個(gè)技術(shù)工人并要使產(chǎn)量不變 ,就要相應(yīng)地減少約 4名非技術(shù)工人 . ※ 思考題 設(shè)?????)()(tytx??，由)()(ttyx?????? )0)(( ?? t?可知)()(ttyx????????? ，對嗎？思考題解答 不對． ? ?xx yxy ???? dd xtty x dddd ??? )(1)( )( tttt ???????????????一、 填空題： 1. 設(shè)01552223????? yxyyxx確定了y是 x 的函數(shù)，則)1,1(ddxy=_____ ___ ， ?22ddxy_ ____ ___. 2. 曲線733??? xyyx在點(diǎn)（ 1 ， 2 ）處的切線方程是__ _____ ____. 3. 曲線?????ttyttxsinc o s在2π?t 處的法線方程 ____ ____. 4. 已知?????teytextts i nc o s, 則xydd=____ __ ；3πdd?txy=_ ____ _. 5. 設(shè) yxexy??, 則x
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