【正文】 b b?? ， 代入式（ 1）得 2 112 n n n n nb b b b b????， 即 ? ?1122n n nb b b n??? ? ?，故 ??nb 是等差數(shù)列． （ 2）由 111, 2ab??及式（ 1），式（ 2），易得2233, 2 ,2ab?? 因此 ??nb 的公差 22d? ，從而 ? ? ? ?1 2112nb b n d n? ? ? ? ?， 得 ? ?? ?1 1 122na n n? ? ? ? （ 3） 又 1 1a? 也適合式（ 3），得 ? ? ? ?*12n nna n N???， 所以 ? ?1 2 1 1211na n n n n??? ? ???????， 從而1 1 1 1 1 1 22 1 . . . 2 12 2 3 1 11nnSn n n n?? ???? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??????? 3. 解：（Ⅰ）11186 , 2656 6 6224nadadada n d????? ? ?? ?????? ? ? （Ⅱ） 2 2 1 1( 1 ) 1 ) ( 2 4 ) 1 2n nb n a n n n n? ? ? ?? ? ? ? ?（， 12 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 1 2nnT b b b nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???， = 1122n? ? 而 1122n????????是遞增數(shù)列 ， 1 1 1 12 3 6nTT? ? ? ? ?? 16 . 4. （ 1）1112111111??????? ? ??nnnnn aaaab ， 而 1111 ?? ?? nn ab， ∴ 1111 11 11 ?????? ?? ?? nn nnn aa abb． )( ??Nn ∴ { nb }是首項為251111 ???? ab，公差為 1的等差數(shù)列． （ 2）依題意有nn ba11?? ，而 )1(25 ?????? ? nnb n ， ∴ ??? nan． 對于函數(shù) ??xy ，在 x＞ ， y＞ 0， 0?y39。從 C 上的點 ),( nnn yxQ 作 x 軸的垂線，交 nC 于點 nP ，再從點 nP 作 y 軸的垂線，交 C 于點 ),( 111 ??? nnn yxQ ， 設 111 ,1 ?? ????? nnnnnn yybxxax 。 25. 已知等差數(shù)列 {an}的公差 d 是它的前 n 項和，又441S與661S的等比中項是117?a ， 441S 與 661S 的等差中項是 6，求 an。 （ II）若從數(shù)列 {an}中 依次取出第 2項，第 4項，第 8項，?，第 2n項，按原來的順序組成一個新數(shù)列 {bn}，求數(shù)列 {bn}的前 n項和Tn。 14. 已知數(shù)列 3021 , aaa ? ，其中 1021 , aaa ? 是首項為 1，公差 為 1 的等差數(shù)列； 202010 , aaa ? 是公差為 d 的等差數(shù)列； 302120 , aaa ? 是公差為 2d 的等差數(shù)列（ 0?d ） . (Ⅰ )若 4020?a ，求 d ；（Ⅱ）試寫出 30a 關于 d 的關 系式，并求 30a 的取值范圍； （Ⅲ）續(xù)寫已知數(shù)列，使得 403130 , aaa ? 是公差為 3d 的等差數(shù)列，??，依次類推， 把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列 . 提出同（ 2）類似的問題（（ 2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？ (所得的結論不必證明 ) 15. 一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口 A 和一個運算出口 B ，按照某種運算程序：①當從 A 口輸入自然數(shù) 1時，從 B口得到 13 ，記為 ?? 11 3f ? ；②當從 A口輸入自然數(shù) ? ?2nn? 時，在 B 口得到的結果 ??fn是前一個結果 ? ?1fn? 的 ? ?? ?2 1 12 1 3nn????倍 . （ 1）當從 A口分別輸入自然數(shù) 2 ， 3 ， 4 時，從 B口分別得到什么數(shù)？試猜想 ??fn的關系式，并證明你的結論 ； （ 2）記 nS 為數(shù)列 ? ?? ?fn 的前 n 項的和。 13. 設數(shù)列 }{na 是首項為 0的遞增數(shù)列，（ Nn? ）， ,)(1s in)(nn axnxf ?? ,[ nax? ]1?na 滿足：對于任意的 bxfb n ?? )(),1,0[ 總有兩個不同的根。 12. 設各項為正數(shù)的等比數(shù)列 ??na 的首項 211?a，前 n項和為 nS ，且0)12(2 1020203010 ???? SSS 。已知3448, 0TT?? ? 。 若數(shù)列 ??na 的公比 q=f(m),數(shù)列 ??nb 滿足 ),2,)((231,11 ???? ?? nNnbfbab nn求證 :??????nb1 為等差數(shù)列 ,求 nb . 10. 已知數(shù)列 }{na 滿足： ,21,121 ?? aa且 0]1)1[(22])1(3[ 2 ??????? ? nnnn aa ，*Nn? ． （Ⅰ）求 3a ， 4a ， 5a ， 6a 的值及數(shù)列 }{na 的通項公式； （Ⅱ）設 nnn aab 212 ?? ? ，求數(shù)列 }{nb 的前 n 項和 nS ； 11. 將等差數(shù)列 {}na 所有項依次排列，并作如下分組： 1 2 3 4 5 6 7( ) , ( , ) , ( , , , ) ,a a a a a a a? 第一組 1項，第二組 2項，第三組 4項， ? ，第 n組 12n? 項。 （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ 2）求證數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列； （ 3）設 n n nc ab? ，試問數(shù)列 ??nc 有沒有最大項？如果有，求出這個最大項，如果沒有，說明理由。 2. 設 ? ?? ?,nnab都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù) n ，都有 2 1,n n na b a? 成等差數(shù)列，2211,n n nb a b??成等比數(shù)列． （ 1）試問 ??nb 是否成等差數(shù)列？為什么？ （ 2）如果 111, 2ab??，求數(shù)列 1na??????的前 n 項和 nS ． 3. 已知等差數(shù)列｛ na ｝中， 2a ＝ 8， 6S ＝ 66. （Ⅰ）求數(shù)列｛ na ｝的通項公式； （Ⅱ）設nn anb )1(2?? ， nn bbbT ???? ?21 ，求證： nT ? 16 . 4. 已知數(shù)列 {na }中 531?a，112??? nn aa（ n≥ 2， ??Nn ），數(shù)列 }{nb ，滿足11?? nn ab（ ??Nn ） （ 1）求證數(shù)列 { nb }是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 { na }中的最大項與最小項，并說明理由； （ 3）記 ??? 21 bbSn ? nb? ，求1)1(lim????nnS bnn． 5. 已知數(shù)列 {an}中 ， a10, 且 an+1=23 na?， (Ⅰ) 試求 a1的值 ， 使得數(shù)列 {an}是一個常數(shù)數(shù)列 ； (Ⅱ) 試求 a1的取值范圍 ,使得 an+1an對任何自然數(shù) n都成立 ； (Ⅲ) 若 a1 = 2， 設 bn = | an+1－ an| (n = 1， 2， 3，? )， 并以 Sn表示數(shù)列 {bn}的前 n 項的和 ， 求證 ： Sn25． 6. （ 1）已知： )0( ???x ，求證 xxxx 11ln11 ???? ； （ 2）已知： 2?? nNn 且 ，求證： 11211ln13121 ????????? nnn ?? 。高考數(shù)學難點突破訓練 —— 數(shù)列與數(shù)學歸納法 ，曲線 2 ( 0)y x y??上的點 iP 與 x 軸的正半軸上的點 iQ 及原點 O 構成一系列正三角形 △ OP1Q1， △ Q1P2Q2， ?△ Qn1PnQn? 設正三角形 1n n nQ PQ? 的邊長為 na ,n∈ N﹡ (記 0Q 為 O ), ? ?,0nnQS .（ 1）求 1a 的值 。 （ 2）求數(shù)列 {na }的通項公式 na 。 7. 已知數(shù)列 ??na 各項均不為 0，其前 n 項和為 nS ，且對任意 ??Nn ，都有nn papSp ???? )1( （ p 為 大 于 1 的 常 數(shù) ） ， 并 記 nnnnnnn S aCaCaCnf ? ???????? 21)( 2211 ?. （ 1）求 na ； （ 2）比較 )1( ?nf 與 )(2 1 nfpp ??的大小 ??Nn ； （ 3）求證 ：???????? ???????? ?????????? ????1212