高考數(shù)學(xué)_難點(diǎn)突破訓(xùn)練——數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法含詳解-全文預(yù)覽
【正文】 ????，∴a nn? ?3 2 ∴2 1 3 2 2345a n nn???? ?( )， ，? 21. （ I）設(shè) 數(shù)列{}n的公差為 d，則a d3 1??， ?a a d18 8 1??， () 又S a a d20 1 20 120 2 610 2 19 61 2? ? ?? ?( ) () 由（ 1）（ 2）得a d1 2 3? ?， ?數(shù)列{}n的通項公式n nNn ??3 1( ) （ II）?Ta a a an n?????2 4 8 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ??( ) ( ) ( )( )( )3 2 1 3 4 1 3 2 13 2 2 2 23 2 2 12 13 2 61 2 31??nnnnnnn 數(shù)列{}bn的前 n項和T n nNn n?? ?? ??32 61 ( ) 22. 設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，由已知條件， 得?????????????????②．①2511112123333322333323qaqaaaqaqqaqaaqaqa ①247。 所以11 1 1 2 2 12 12 2 ( 2 1 ) 3 2 2 4 22nn n n n nnT a d?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) n=1時， 1121Ta? ?? 也適合上式，故 2 2 13 2 2 4 2nnnT ??? ? ? ?。 9. （ 1）由 ,32)3(32)3( 11 ???????? ?? mmasmmmasm nnnn 得 ,3,2)3( 1 ???? ? mmaam nn兩式相減得 ,321 ??? ? m maa nn ∴ ??na 是等比數(shù)列。 2. 由題意，得 2 12 n n nb a a ??? ， （ 1） 2 2 211n n na b b??? （ 2） （ 1）因?yàn)?0, 0nnab??，所以由式（ 2）得 11n n na b b??? ，從而當(dāng) 2n? 時， 1n n na b b?? ， 代入式（ 1）得 2 112 n n n n nb b b b b????， 即 ? ?1122n n nb b b n??? ? ?，故 ??nb 是等差數(shù)列． （ 2）由 111, 2ab??及式（ 1），式（ 2），易得2233, 2 ,2ab?? 因此 ??nb 的公差 22d? ，從而 ? ? ? ?1 2112nb b n d n? ? ? ? ?， 得 ? ?? ?1 1 122na n n? ? ? ? （ 3） 又 1 1a? 也適合式（ 3），得 ? ? ? ?*12n nna n N???， 所以 ? ?1 2 1 1211na n n n n??? ? ???????， 從而1 1 1 1 1 1 22 1 . . . 2 12 2 3 1 11nnSn n n n?? ???? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??????? 3. 解：（Ⅰ）11186 , 2656 6 6224nadadada n d????? ? ?? ?????? ? ? （Ⅱ） 2 2 1 1( 1 ) 1 ) ( 2 4 ) 1 2n nb n a n n n n? ? ? ?? ? ? ? ?（， 12 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 1 2nnT b b b nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???， = 1122n? ? 而 1122n????????是遞增數(shù)列 ， 1 1 1 12 3 6nTT? ? ? ? ?? 16 . 4. （ 1）1112111111??????? ? ??nnnnn aaaab ， 而 1111 ?? ?? nn ab， ∴ 1111 11 11 ?????? ?? ?? nn nnn aa abb． )( ??Nn ∴ { nb }是首項為251111 ???? ab，公差為 1的等差數(shù)列． （ 2）依題意有nn ba11?? ，而 )1(25 ?????? ? nnb n ， ∴ ??? nan． 對于函數(shù) ??xy ，在 x＞ ， y＞ 0， 0?y39。 25. 已知等差數(shù)列 {an}的公差 d 是它的前 n 項和，又441S與661S的等比中項是117?a ， 441S 與 661S 的等差中項是 6，求 an。 14. 已知數(shù)列 3021 , aaa ? ，其中 1021 , aaa ? 是首項為 1，公差 為 1 的等差數(shù)列； 202010 , aaa ? 是公差為 d 的等差數(shù)列； 302120 , aaa ? 是公差為 2d 的等差數(shù)列（ 0?d ） . (Ⅰ )若 4020?a ，求 d ；（Ⅱ）試寫出 30a 關(guān)于 d 的關(guān) 系式，并求 30a 的取值范圍； （Ⅲ）續(xù)寫已知數(shù)列，使得 403130 , aaa ? 是公差為 3d 的等差數(shù)列，??，依次類推， 把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列 . 提出同（ 2）類似的問題（（ 2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ (所得的結(jié)論不必證明 ) 15. 一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口 A 和一個運(yùn)算出口 B ，按照某種運(yùn)算程序：①當(dāng)從 A 口輸入自然數(shù) 1時，從 B口得到 13 ，記為 ?? 11 3f ? ；②當(dāng)從 A口輸入自然數(shù) ? ?2nn? 時，在 B 口得到的結(jié)果 ??fn是前一個結(jié)果 ? ?1fn? 的 ? ?? ?2 1 12 1 3nn????倍 . （ 1）當(dāng)從 A口分別輸入自然數(shù) 2 ， 3 ， 4 時，從 B口分別得到什么數(shù)？試猜想 ??fn的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論 ； （ 2）記 nS 為數(shù)列 ? ?? ?fn 的前 n 項的和。 12. 設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列 ??na 的首項 211?a，前 n項和為 nS ，且0)12(2 1020203010 ???? SSS 。 若數(shù)列 ??na 的公比 q=f(m),數(shù)列 ??nb 滿足 ),2,)((231,11 ???? ?? nNnbfbab nn求證 :??????nb1 為等差數(shù)列 ,求 nb . 10. 已知數(shù)列 }{na 滿足： ,21,121 ?? aa且 0]1)1[(22])1(3[ 2 ??????? ? nnnn aa ，*Nn? ． （Ⅰ）求 3a ， 4a ， 5a ， 6a 的值及數(shù)列 }{na 的通項公式； （Ⅱ）設(shè) nnn aab 212 ?? ? ，求數(shù)列 }{nb 的前 n 項和 nS ； 11. 將等差數(shù)列 {}na 所有項依次排列，并作如下分組： 1 2 3 4 5 6 7( ) , ( , ) , ( , , , ) ,a a a a a a a? 第一組 1項，第二組 2項，第三組 4項， ? ，第 n組 12n? 項。 2. 設(shè) ? ?? ?,nnab都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù) n ，都有 2 1,n n na b a? 成等差數(shù)列，2211,n n nb a b??成等比數(shù)列． （ 1）試問 ??nb 是否成等差數(shù)列？為什么？ （ 2）如果 111, 2ab??，求數(shù)列 1na??????的前 n 項和 nS ． 3. 已知等差數(shù)列｛ na ｝中， 2a ＝ 8， 6S ＝ 66. （Ⅰ）求數(shù)列｛ na ｝的通項公式； （Ⅱ）設(shè)nn anb )1(2?? ， nn bbbT ???? ?21 ，求證： nT ? 16 . 4. 已知數(shù)列 {na }中 531?a，112??? nn aa（ n≥ 2， ??Nn ），數(shù)列 }{nb ，滿足11?? nn ab（ ??Nn ） （ 1）求證數(shù)列 { nb }是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 { na }中的最大項與最小項，并說明理由； （ 3）記 ??? 21 bbSn ? nb? ，求1)1(lim????nnS bnn． 5. 已知數(shù)列 {an}中 ， a10, 且 an+1=23 na?， (Ⅰ) 試求 a1的值 ， 使得數(shù)列 {an}是一個常數(shù)數(shù)列 ； (Ⅱ) 試求 a1的取值范圍 ,使得 an+1an對任何自然數(shù) n都成立 ； (Ⅲ) 若 a1 = 2， 設(shè) bn = | an+1－ an| (n = 1， 2， 3，? )， 并以
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