【正文】 k yNyE 1 )(1])[( ??二、矩法及矩估計量 所謂 矩法 就是利用樣本各階原點矩來估計總體相應(yīng)各階原點矩的方法，即 )(11knikik yEyny ?? ?? (8 第二節(jié) 矩法 一、矩的概念 矩 ( moment )分為 原點矩 和 中心矩 兩種。 除以上三方面標準外，還有 充分性 與 完備性 也是?？紤]的。 如果一個無偏估計量相對與其它所有可能無偏估計量，其期望方差最小，那么稱這種估計量為 一致最小方差無偏估計量 。估計量的期望方差越大說明用其估計值代表相應(yīng)真值的有效性越差；否則越好，越有效。 (2) 有效性 無偏性表示估計值是在真值周圍波動的一個數(shù)值，即無偏性表示估計值與真值間平均差異為 0，近似可以用估計值作為真值的一個代表。 例如，在抽樣分布中已經(jīng)介紹了離均差平方和除以自由度得到的均方的平均數(shù)等于總體方差，即該均方的數(shù)學期望等于相應(yīng)總體參數(shù)方差，這就是說該均方估計量是無偏的。5) 數(shù)學期望有這樣一些常用的性質(zhì)： (1) 常數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)本身； (2) 隨機變量與常數(shù)的乘積的數(shù)學期望是常數(shù)與隨機變量的數(shù)學期望的乘積； (3) 多個隨機變量分別與常數(shù)的乘積的求和函數(shù)的數(shù)學期望是常數(shù)與多個隨機變量的數(shù)學期望的乘積的和； (4) 多個相互獨立的隨機變量的乘積的數(shù)學期望是多個隨機變量的數(shù)學期望的乘積。同理，離散型隨機變量方差的數(shù)學期望為： ? ?? ?? ??? 12i iipyEyyD )()((8 用 D(y)表示方差，有 D(y)=E [y－ E(y)]2 (8 對于連續(xù)型隨機變數(shù) y的數(shù)學期望 E(y)為： ? ????? dyyyfyE )()((8 對于離散型 (間斷性 )隨機變量 y的分布列為： P{y=yi}=pi ，其中， i=1， 2， … ，那么隨機變量 y的數(shù)學期望 E(y)為： ???? 1i iipyyE )( (8 例如，一個大豆品種的含油量為 20%，測定一次可能是大于 20%，再測定可能小于 20%，大量反復測定后平均結(jié)果為 20%，這時 20%便可看作為該大豆品種含油量的數(shù)學期望，而每單獨測定一次所獲的值只是 1個隨機變量。第八章 參數(shù)估計方法 第一節(jié) 農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù)及其估計量的評選標準 第二節(jié) 矩法 第三節(jié) 最小二乘法 第四節(jié) 極大似然法 第一節(jié) 農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù)及其估計量的評選標準 一、農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù) (1)總體數(shù)量特征值參數(shù)，例如，用平均數(shù)來估計品種的產(chǎn)量，用平均數(shù)差數(shù)來估計施肥等處理的效應(yīng)； (2)在揭示變數(shù)間的相互關(guān)系方面，用相關(guān)系數(shù)來描述 2個變數(shù)間的線性關(guān)系；用回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)等來描述原因變數(shù)變化所引起的結(jié)果變數(shù)的平均變化的數(shù)量，用通徑系數(shù)來描述成分性狀對目標性狀的貢獻程度等。 農(nóng)業(yè)科學研究中需要估計的參數(shù)是多種多樣的，主要包括 : 二、參數(shù)估計量的評選標準 (一 ) 數(shù)學期望 樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是一種數(shù)學期望。 抽象地，隨機變量的數(shù)字特征是指隨機變量的數(shù)學期望值。1) 這樣可以求得總體平均值。2) 其中 f(y)為隨機變量 y的概率密度函數(shù)，這樣可以求得總體均值。3) 這就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。4) 連續(xù)型隨機變量方差的數(shù)學期望為： ? ?? ?? ???? dyyfyEyyD )()()( 2 (8 (二 ) 參數(shù)估計量的評選標準 評價估計量優(yōu)劣的標準主要有無偏性、有效性、相合性等 (1) 無偏性 參數(shù)估計量的期望值與參數(shù)真值是相等的，這種性質(zhì)稱為 無偏性 ，具有無偏性的估計量稱為 無偏估計量 。 估計量的數(shù)學期望值在樣本容量趨近于無窮大時與參數(shù)的真值相等的性質(zhì)稱為 漸進無偏性 ，具有漸進無偏性的估計量稱為 漸進無偏估計量 。 同一個參數(shù)可以有許多無偏估計量，但不同估計量的期望方差不同，也就是估計量在真值周圍的波動大小不同。不同的估計量具有不同的方差，方差最小說明最有效。 (3) 相合性 用估計量估計參數(shù)涉及一個樣本容量大小問題，如果樣本容量越大估計值越接近真值，那么這種估計量是 相合估計量 。 充分性 指估計量應(yīng)充分利用樣本中每一變量的信息； 完備性 指該估計量是充分的唯一的無偏估計量。 對于樣本 y1,y2,… yn，各觀測值的 k次方的平均值，稱為樣本的 k階原點矩 ，記為 ，有 , 用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的 k次方的平均數(shù)稱為 樣本的 k階中心矩 , 記為 或 ，有 。6) 也可以用樣本各階原點矩的函數(shù)來估計總體各階原點矩同一函數(shù)，即若 Q=f ( E(y),E(y2),…,E(yk) ) , 則 )，( kyyyfQ ?2? ?由此得到的估計量稱為 矩估計量 。 )，( 2??N)，( 2??N ? 2? 首先，求正態(tài)分布總體的 1階原點矩和 2階中心矩： ?? ???????? ??????? ????? μdyσ μyσπydyyyfE ( y ) 222)(e x p21)(2222222)(e x p21)()()()][(???????? ??????????????????dyσμyσπμydyyμyμyE然后求樣本的 1階原點矩和 2階中心矩，為 ? ????????niinii yynsyny12221?? )(1，1 ??最后，利用矩法，獲得總體平均數(shù)和方差的矩估計 ? ????????ni ini iyynsyny12221?? )(1，1 ?? 故總體平均數(shù)和方差的矩估計值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，方差的分母為 n。 偏度系數(shù) ( coefficient of skewness )是指 3階中心矩與標準差的 3次方之比； 峰度系數(shù) ( coefficient of kurtosis )是指 4階中心矩與標準差的 4次方之比。當峰度大于 3時，分布比較陡峭，峰態(tài)明顯，即總體變數(shù)的分布比較集中。7) 峰度系數(shù) 24121444 )(1)(1???????? ???? ????niinii yynyynσμck(8 表 140行水稻產(chǎn)量 (單位：克 ) 177 215 197 97 123 159 245 119 119 131 149 152 167 104 161 214 125 175 219 118 192 176 175 95 136 199 116 165 214 95 158 83 137 80 138 151 187 126 196 134 206 137 98 97 129 143 179 174 159 165 136 108 101 141 148 168 163 176 102 194 145 173 75 130 149 150 161 155 111 158 131 189 91 142 140 154 152 163 123 205 149 155 131 209 183 97 119 181 149 187 131 215 111 186 118 150 155 197 116 254 239 160 172 179 151 198 124 179 135 184 168 169 173 181 188 211 197 175 122 151 171 166 175 143 190 213 192 231 163 159 158 159 177 147 194 227 141 169 124 159 首先，計算樣本的 4階中心矩 ，以及標準差估計值： 432 ??? ??? ，7 3 51 3 0 3)(1?122 .yynμnii ??? ??8913 9 5 3)(1?133 .yynμnii ??? ??6144 10677294)(1? ???? ??.yynμnii1 0 736)(1??122 .yynμσni ???? ? 然后，根據(jù)矩法原理，該分布的偏度與峰度估計值分別為： 0 8 4 90?? 33 .σ/μcs ??7522?? 43 .σ/μck ?? 因此，說明資料比較集中在平均數(shù)左右，分布曲線并不是特別陡峭。按單向分組方差分析進行分析，結(jié)果見表 。 因為 76個系是隨機抽取的，因而為隨機模型。 根據(jù)矩法，首先應(yīng)求出系間和誤差變異來源的樣本均方和總體期望均方 (表 )。 2? 2??此處 E(MS系統(tǒng)間 )=E[TtE(Tt)]2， (Tt 為各個系統(tǒng)的總和數(shù) ) = 22 ??? n? E(MS誤差 )=E(e2)= ， (e為誤差 ) 2?因而 7717? 2 .σ ?7972?2? 22 .σσ τ ??)(? 2 ?????% ??? ??? 222222222 ???????? ??????????eggpgh第三節(jié) 最小二乘法 從總體中抽出的樣本觀察值與總體平均數(shù)是有差異的，這種差異屬于 抽樣誤差 。 參數(shù)估計的最小二乘法就是基于這種考慮提出的。這有助于揭示更接近真實的狀況。 [例 ] 用最小二乘法求總體平均數(shù) 的估計量。 為獲得其最小值，求 Q對的導數(shù)，并令導數(shù)等于 0，可得： 0)(2 ?? ??????niiyQ1???即總體平均數(shù)的估計量為： ???niiyn1? 1? 因此，算術(shù)平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計。 估計離均差平方和 的數(shù)學期望： 2)( yyQi ????222222222)1(])()([])())((2)([])([])([)(????????????????????????????????n/nn σn σμyμyEμyμyμyμyEyyEyyEQEiiiii因而， 估計為： 2?1)(1)( ?????? ? nyynQ i 22 )(??與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。 iy表 生長素處理豌豆的試驗結(jié)果 處 理 (A) 組 (B) 總和 Ti 平均 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 對照 (CK) 60 62 61 60 243 赤霉素 65 65 68 ye 198+ye 動力精 63 61 61 60 245 吲哚乙酸 64 67 63 61 255 硫酸腺嘌吟 62 65 62 64 253 馬來酸 61 62 62 65 250 總和 T j 375 382 377 310+ye T=1444+ye 從第 6章可知，這種資料模式的線性模型為： 按照最小二乘法的估計原理，使 ijjiijy ???? ????? ??ai i10? ? ??rj j10? 該模型的約束條件為： ， 和誤差項服從正態(tài)分布。 缺區(qū)估計是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。 一般地，若 m個自變數(shù) x x x … 、 xm與依變數(shù) y存在統(tǒng)計模型關(guān)系 ???? ?? )，；，( kmxxxfy ?? 2121(8 通過 n次觀測 (n＞ k)得到 n組含有 x1i , x2i ,…x mi , yi ( i=1,2,…,n )的數(shù)據(jù)以估計 。10) 為最小的 。 k??? ??? 21 ， ?第四節(jié) 極大似然法 所謂 極大似然法 ( maximum l