【正文】 設(shè)總體 X存在均值 μ 與方差 σ 20,則 〖 解 〗 因為 ??????? ??niiXnEXE11)( 樣本均值 是總體均值 μ 的無偏估計 。(222 ???????? ??? ???????? Rxxf 設(shè) 為樣本 的一個樣本值 , 則似然函數(shù)為 : nxxx , . . . , 21nXXX ,..., 21河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 ?????? ??? ??2212 )(21e x p21),( ?????? inixL? ? ? ? ?????? ????? ???? niinnx122222 )(21e x p2 ????從而 ,取對數(shù)得 : 21222 )(21ln22ln2),(ln ?????? ????? ??niixnnL由似然方程組 視 σ2為整體 ???????????????????????0)()(212ln0][1ln12222212niiniixnLnxL???????河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 解得 μ ,σ 2的 極大似然估計值 為 : ?????niixxnx122)(1?,???從而 μ ,σ 2的 極大似然估計量 為 : ?????nii XXnX122 )(1?,??? ■ 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 【 例 8】 設(shè)總體 X服從 [a,b]上的均勻分布 ,求未知 參數(shù) a,b的極大似然估計量 . 〖 解 〗 雙參數(shù) ， 連續(xù)型 . ?????????.,0,1),。,( 21 kL ??? ? ? 求 多元似然函數(shù)的極大值點 ；當(dāng) L關(guān)于各參數(shù) 可導(dǎo)時，可解 似然方程組 ).,2,1(0 klLl??????得各參數(shù)的極大似然估計。(ln)(ln)。,()( )(121121??????????????niinniinxfxxxLLxpxxxLL??或?qū)懗鏊迫缓瘮?shù)一。,()()。)。 求矩估計的步驟 )。( mxppCpxf xmxxm ???? ????nii pxfpL1)。 〖 解 〗 單參數(shù)，離散型。,(ln 21 ??? nxxxLdd ?或與之等價的 來得到待估參數(shù) θ 的極大似然估計值 (駐點 )。特別 ,當(dāng)總體分布 律或概率密度關(guān)于參數(shù) 可導(dǎo) 時 ,可通過解 似然方程 ③ 、必要時 ,參照極大似然估計值寫出極大似然 估計量 . 0)。()。 ② 、在參數(shù) θ 的變化范圍內(nèi)求似然函數(shù)的最大 值點 ① 、依據(jù)總體 X的分布律或概率密度寫出樣本的 似然函數(shù) : 綜上可得 ,求極大似然估計的步驟 ),(? 21 nxxx ??????????????,),。()。 來自總體 X的樣 本 , 為其樣本值，則 的聯(lián)合概 率密度為 : nXXX ,..., 21nxxx ,..., 21 nXXX ,..., 21達(dá)到最大值 ,相應(yīng)的 極大似然估計法 ：對固定的樣本值 ,在參數(shù)空間中 選取使上述概率達(dá)到最大的參數(shù)值 作為參數(shù) θ 的估 計值 (稱為 極大似然估計值 )。()。( ????xf 設(shè)連續(xù)型總體 X的概率密度 )()。()。 (極大似然估計法的思想 ? 單參數(shù)情形 下面分離散型與連續(xù)型總體來討論 . (極大似然估計的求法 設(shè)離散型總體 X的分布律 )()。, . . . ,2,1( klA ll ???? 解方程 (組 ) ? 寫出矩估計量和矩估計值 . 因此 ,會求總體矩 ,記住樣本矩 ,就可求出待估參 數(shù)的矩估計量與矩估計值 . 【 例 1】 設(shè)總體 X服從 [a,b]上的均勻分布 ,求未知 參數(shù) a,b的矩估計量 . 〖 解 〗 兩個待估參數(shù)，連續(xù)型 . 先求總體的一 ,二階 (原點 )矩 . 因為 X～U[a,b],所以 )(1 XE??)( 22 XE?? 2)]([)( XEXD ??,212)( 22?????? ???? baab,2ba ?? 由 ?????2211AA??即 ???????????????niiXnbaabXba122214)(12)(2解得 : ,)(3?12?????nii XXnXa.)(3?12?????nii XXnXb■ 【 例２ 】 求正態(tài)總體 N(μ ,σ 2)的兩個未知參數(shù) μ ,σ 2的矩估計量 . 〖 解 〗 兩個待估參數(shù)，連續(xù)型 . 先求總體的一 ,二階 (原點 )矩 . 因為 X～N(μ ,σ 2),所以 ,)(1 ?? ?? XE22222 )]([)()( ??? ????? XEXDXE由 ?????2211AA??. 即 ??????????niiXnX1222 1??? 解得 μ ,σ 2的 矩估計量 分別為 : ,? X??2122 1? XXnnii ?? ???■ ????nii XXn12)(1樣本二階 中心矩，非修正樣本方差 【 例３ 】 求服從二項分布 B(m， p)的總體 X未知參 數(shù) p的矩估計量。()(2121離散型連續(xù)型XRxklklllxpxdxxfxXE???????均存在 ,而樣本矩 ???nilil XnA11.,...2,1 kl ?其中 矩估計法就是 : 令 總體的前 k階矩分別與樣本的 對應(yīng)階矩相等 ,即 ??????????,2211kkAAA??????可作為待估參數(shù) 的估計量 (稱為 矩估計 量 ),其觀察值為待估參數(shù)的估計值 (稱為 矩估計值 ). k??? , .. ., 21k??? ?,?,? 21 ?這是含 k個待估參數(shù) 的 聯(lián)立方程組 ，其解 k??? ,..., 21? 確定待估參數(shù)的個數(shù) k,求出總體的前 k階矩 。,2,1,11??? ????kXn kPniki ? 以上結(jié)論是下一章所要介紹的矩估計法的理論根據(jù) . 設(shè)總體 X的前 k階矩 ???????????????? ,)(),...,。 是來自總體 X的一個樣本 , 是其樣本值 . nxxx ,..., 21nX..., 21 XX 根據(jù)待估參數(shù)的 特征 構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量 ), . . . ,(? 21 nXXX?), . . . ,(? 21 nxxx? 用其觀察值 來估計未知參數(shù) θ . —— θ 的 估計量 —— θ 的 估計值 今后 ,不再區(qū)分估計量和估計值而統(tǒng)稱為 θ 的 估計 , 均記為 . ?? 設(shè)已知總體 X的可能分布函數(shù)族為 : 理論根據(jù) :樣本矩 (的連續(xù)函數(shù) )依概率收斂于總 體矩 (的連續(xù)函數(shù) ). 其中 為待估參數(shù) . k??? ,..., 21? ?), . . . ,。 一、點估計提法 點估計問題提法 :設(shè)已知總體 X的分布函數(shù) F(x。 根據(jù)樣本提供的信息對總體 X的未知參數(shù)作出估計 ，這類問題稱為 參數(shù)估計 問題。例如 ,服從正態(tài)分 布的總體 X就是由參數(shù) μ =E(X),σ 2=D(X)確定的。 ? 假設(shè)檢驗問題 (ch8) 第七章 參數(shù)估計 167。統(tǒng)計推斷的基本問題 ? 估計問題 (ch7) 估計問題可分為參數(shù)估計與非參數(shù)估計。 本章只介紹關(guān)于總體參數(shù)的 點估計 與 區(qū)間估計 。 點估計 一、點估計問題的提出 數(shù)理統(tǒng)計的基本任務(wù)就是依據(jù)樣本推斷總體特征 . 刻畫總體 X的某些特征的常數(shù)稱為 參數(shù) ,其中最常 用的參數(shù)是總體的數(shù)學(xué)期望和方差。 在實際問題中 ,常 已知總體 X的分布函數(shù)的形式 ,而 未知總體 X的一個或多個參數(shù) 。 參數(shù)估計通常有兩種方法 :點估計 和 區(qū)間估計 。θ ) 的形式 ,θ ∈ Θ(參數(shù)空間 )為需要估計的參數(shù)。( 21 kxF ???二、構(gòu)造估計量的兩種方法 矩估計法 矩估計法 :用樣本矩 (函數(shù) )來估計總體矩 (函數(shù) ). .,2,1,)(??? ???? kAnXEkXkPkkk??時則當(dāng)存在記成階矩的若總體證明 , , 21 同分布獨立且與因為 XXXX n? , , 21 同分布獨立且與所以 kknkk XXXX ?.)()()( 21 kknkk XEXEXE ????? ?故有辛欽定理 再根據(jù) 辛欽定理 知 由以上定義得下述 結(jié)論 : 由第五章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知 ),(),( 2121 kPk gAAAg ??? ?? ? ??.是連續(xù)函數(shù)其中 g。()(),...,。 求矩估計的步驟 )。 〖 解 〗 單參數(shù) ， 離散型 . )(1 XE?? 由 11 A??Xmp ? 因為 所以總體 X的一階矩 (期望 )為 ),(~ pmBXmp?即 故所求 矩估計量 為： mXp ??■ 【 例 4】 已知總體 X的概率密度為 : 〖 解 〗 單參數(shù) ， 連續(xù)型 . )(1 XE?? 因為總體一階矩 11 A??????? ????,0,10,)(1其它xxxf?? 其中未知參數(shù) θ 0,求 θ 的矩估計量 . ?????? dxxxf )(101 |1??? ??? x??10dx