【正文】 12 元 . 要求根據(jù)甲乙丙丁的網(wǎng)購訂單信息解決下列兩個問題： 問題 1 若購物網(wǎng)站 A、 B 和 C 除了打折外均無其他促銷活動 ,請 建立一個數(shù)學模型為 上述四人分別制定一個盡量省錢的購物方案 . 問題 2 各網(wǎng)站分別出臺了最新的促銷活動：購物網(wǎng)站 A 推出了單張訂單貨款滿 69元免運費的活動 ,購物網(wǎng)站 B 推出了單張訂單滿 99 元減 10 元的活動 ,購物網(wǎng)站 C 推出單張訂單貨款滿 169 元減 20 元的活動 ,以上活動不以此類推 . 請建立數(shù)學模型 為 上述四人分別制定一個盡量省錢的購物方案 . 本題主要解決由網(wǎng)絡購物（簡稱網(wǎng)購）帶來的各種不同的促銷策略選擇問題 ,即最優(yōu)網(wǎng)購問題 . 網(wǎng)購 由于 方便快捷 、 省時省錢 、 服務周到等特點深受網(wǎng) 民的青睞 ,已 成為一種時尚的購物方式 . 網(wǎng)購越來越流行 ,網(wǎng)店經(jīng)營者為了提高知名度和市場占有率，除了打折之外 ,還推出了各式各樣的促銷活動 . 因此本題主要從消費者的利益出發(fā) ,把消費者最關心的問題 ,即“如何充分利用購物網(wǎng)站的折扣和當前的促銷活動以便用最少的錢購買到自己喜歡的商品”當做評判購物決策好壞的標準 ,即把它作為目標函數(shù) ,把各影響因素當做約束條件即可建立優(yōu)化理論模型進行求解得出最優(yōu)購物方案 . 問題 1 的分析 該問題要求在購物網(wǎng)站 A、 B 和 C 除了打折外均為其他促銷活動的前提下建立一個數(shù)學模型為 上述四人分別制定一個盡量省錢的方案 . 2 通過對問題所給信息的分析發(fā)現(xiàn)：一個訂單的應付費用由該訂單的貨款和一次運費組成 . 一個訂單的貨款即該訂單中所有商品的售價之和減去該訂單的優(yōu)惠金額 . 并且一個人在一個網(wǎng)站購買同一編號的商品當做一個訂單 . 根據(jù)對問題所給數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)：甲 、 乙 、 丙和丁的購物訂單中并 存在 多人同時購買同一編號的商品 ,因此需要注意 他們之間的購物訂單 與庫存量之間的 關系 . 所以只要根據(jù)這一特殊情況建立一個共同的優(yōu)化模型 ,分別代入甲 、 乙 、 丙 和 丁的訂單信息即可分別給這三人制定一個盡量省錢的購物方案 . 可是考慮到最優(yōu)網(wǎng)購問題需要有一定的普遍性，即要求能解決通常情況下一個編號的商品會被多人選購的問題 ,且 甲 、 乙 、 丙 和 丁是相識的 朋友他們在同一家店購買一些商品從而根據(jù)同一訂單中自己購買的商品所占比例分擔郵費的情況 . 因此需要加入購買同一編號的訂單貨物總數(shù)量 不能超過所有網(wǎng)站庫存總量 ,并且必須將目標函數(shù)的郵費部分進行修改 ,得到一個新的模型 . 問題 2 的分析 該問題要求在新的促銷方式下重新給甲 、 乙 、 丙和丁分別安排一個盡量省錢的購物方案 . 對各購物網(wǎng)站最新促銷活動進行分析有：購物網(wǎng)站 A 推出了單張訂單貨款滿 69元免運費的活動 ,購物網(wǎng)站 B 推出了單張訂單滿 99 元減 10 元的活動 ,購物網(wǎng)站 C 推出單張訂單貨款滿 169 元減 20 元的活動 ， 以上活動不以 此類推 . 由于最新活動不能以此類推 ,因此即使單張訂單貨款超過各網(wǎng)站的活動規(guī)定額上限也不會再減少 . 問題二在打折促銷的情況下 ,同時還需要考慮上述最新促銷優(yōu)惠活動 . 對此本文引入 01 變量進行建模 . 設 （ 1） 假設 題目所給的數(shù)據(jù)真實可靠； （ 2） 假設所有網(wǎng)站庫存的所有商品均可出售； （ 3） 假設各網(wǎng)站銷售所有的商品均無質量上的差異； （ 4） 假設各網(wǎng)站對于單個訂單的運費不會考慮網(wǎng)購者地域因素而變動； （ 5） 假設網(wǎng)購者對于各個網(wǎng)站的信用度等差別均不予考慮，只考慮是否省錢； （ 6） 假設一個人在一個網(wǎng)站購買同一 編號的商品不管數(shù)量多少均可算做一個訂單 . 3 序號 符號 符號說明 1 A 表示所有訂單的總費用 2 B 表示所有訂單的總運費 3 C 表示所有費用，包括總費用和總運費 4 Xij 表示甲在 j 網(wǎng)站上購買 i 類商品的數(shù)量 5 Yij 表示乙在 j 網(wǎng)站上購買 i 類商品的數(shù)量 6 Mij 表示丙在 j 網(wǎng)站上購買 i 類商品的數(shù)量 7 Nij 表示丁在 j 網(wǎng)站上購買 i 類商品的數(shù)量 8 fj 表示滿足 j 網(wǎng)站優(yōu)惠條件所能的到的優(yōu)惠金額 9 ej 表示達到 j 網(wǎng)站優(yōu)惠條件所需的金額 10 Sij 表示網(wǎng)站 j 的編號為 i 的商品庫存量 11 Pi 表示編號為 i 的商品的價格 12 dij 表示編號為 i 的商品在網(wǎng)站 j 上的折扣 13 Ni 表示網(wǎng)購者所購買的編號為 i 的商品數(shù)量 14 bij 表示網(wǎng)購者在 j 網(wǎng)站購買的編號為 i 的商品數(shù)量 15 Tj 表示在 j 網(wǎng)絡單個訂單的運費 針對該最優(yōu)網(wǎng)購問題 ,依據(jù)前面對該問題的分析可知 ,本 文 對問題一將建立兩個模型進行求解 ,分別是模型 1 和模型 2；問題二建立一個模型 ， 即為模型 3. 因此 ,本文一共需要建立三個模型對該最優(yōu)網(wǎng)購問題進行研究 ,具體模型建立和求解過程如下所述 . 模型 1 的建立與求解 對此問題所給數(shù)據(jù)分析可知：甲 、 乙 、 丙 和 丁的網(wǎng)購訂單中存在多人同時購買同一編號的商品 ,因此需要注意他們的需求量與庫存量之間的關系 . 模型 1 的建立過程 通過對所給數(shù)據(jù)分析 ,本文假設 ijS 表示網(wǎng)站 j 的編號為 i 的商品庫存量 。 ijd 表示網(wǎng)站 j 對編號為 i 的商品的折扣； iN 表示網(wǎng)購者所購買的編號為 i 的商品數(shù)量； ijb 表示網(wǎng)購者在 j 網(wǎng)站所購買的 編號為 i 的商品數(shù)量； jT 表示在 j網(wǎng)絡購物時單個訂單的運費；假設甲 、 乙 、 丙 和 丁在 j 網(wǎng)站購買的編號為 i 的商品訂單數(shù)量分別為 ijo 、 ijk 、 ijp 和 ijq . 假設 A 為網(wǎng)購者在不同網(wǎng)站上 購物所有訂單的總費用，則有甲在不同網(wǎng)站上購物所有訂單的總費 用為（同理可得其他三人的總費用）： ??? ?? 10001 3 11 i j ijiji dXPA ， ??? ?? 10001 3 12 i j ijiji dYPA 4 ??? ?? 10 001 3 13 i j ijiji dMPA ， ??? ?? 10 001 3 14 i j ijiji dNPA 假設 B 為網(wǎng)購者在不同網(wǎng)站上購物的所有訂單的總運費，則有甲在不同網(wǎng)站上購物所有訂單的總運費 ??? ?? 10001 311 i j ijjoTB ， ??? ?? 10001 312 i j ijjkTB ??? ?? 10001 313 i j ijjmTB ， ??? ?? 10001 314 i j ijjnTB 由題意可知一個訂單的應付費用由該訂單的貨款和一次運費組成，所以假設 C 表示購物者所有應付費用總和 ,則有 BAC ?? 由于在 j 網(wǎng)站購買編號為 i 的商品數(shù)量必須小于等于庫存量 ,則有甲乙丙丁四人在不同網(wǎng)站購買商品訂單的商品數(shù)量應滿足如下約束： ijij SX ? ， ijij SY? ， ijij SM ? ， ijij SN ? . 又由于在所有網(wǎng)站購買的同編號商品數(shù)量之和應等于網(wǎng)購者購買該編號商品總數(shù)量 ,則有甲乙丙丁四人的購物方案分別滿足如下約束條件： ?? ?31 1j rij BX ， ?? ?31 2j rij BY ， ?? ?31 3j rij BM ， ?? ?31 4j rij BN . 由一個人在一個網(wǎng)站購買同一編號商品不管數(shù)量多少均可算做一個訂單 ,所以 ijo 即可用 10? 變量表示 ,則如果在 j 網(wǎng)站購買編號為 i 的商品則 1?ijo ,否則 0?ijo . 同理 , 1?ijk , 1?ijp , 1?ijq ,否則 0?ijk , 0?ijp , 0?ijq ,即可表示為： ? 11 00 ?? ?? ijij ijij oX oX 則若 則若 ， ? 11 00 ?? ?? ijij ijij kY kY 則若 則若 ， ? 11 00 ?? ?? ijij ijij pM pM 則若 則若 ， ? 11 00 ?? ?? ijij ijij qN qN 則若 則若 . 綜上 則有如下線性規(guī)劃模型： 5 Min ?1C ??? ?1000131i j ijiji dXP+??? ?1000131i j ijjoT 目標函 數(shù) ： Min ?2C ??? ?1000131i j ijiji dYP+??? ?1000131i j ijjkT Min ?3C ??? ?1000131i j ijiji dMP+??? ?1000131i j ijj pT Min ?4C ??? ?1000131i j ijiji dNP+??? ?1000131i j ijjqT . , , ,3 3 3 3, , ,1 2 3 41 1 1 11 , 1 , 01 , 1 , 01 , 1 , 01 , 1 , 0X S Y S M S N Sij ij ij ij ij ij ij ijX Y M Nij ij ij ij SijX B Y B M B N Bij i ij i ij i ij ij j j jX o oij ij ijY k kij ij ijM ij p pij ijN q qij ij ij? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????若 則 否 則若 則 否 則若 則 否 則若 則 否 則 模型 1 的求解過程 模型 1 運用 Lingo 軟件編程 (見附錄程序一 ). 模型 1 的程序只需將甲 、 乙 、 丙和丁的采購信息及各個網(wǎng)站的庫存 和 折扣等數(shù)據(jù)通過 text 文件導入編寫的 Lingo 程序中分別求出四人各自省錢的最優(yōu)購物方案 ,四人采購的總費用為 元 、 元 、 元和 元 . 購物具體方案整理后如 附錄中 表 1 、 表 2 、 表 3 和表 4 所示 . 模型 2 的建立與求解 模型 2 的建立過程 在實際生活中 ,很可能出現(xiàn)購物者互相認識的情況 ,也就是說他們可以一起購物 ,且經(jīng)常出現(xiàn)多人看中同一商品的情況 ,若甲 、 乙 、 丙和丁四人商量好讓其中一人購買所有商品 ,然后 多人購買的同一商品只需付單個訂單的運費 ,可使 網(wǎng)購費用降低 ,從而達到最優(yōu)化 . 此處我們考慮總體最優(yōu) ,不詳細說明甲 、 乙 、 丙和丁每個人最后花費了多少 .因此，通過在模型 1 的基礎上進行修改，即可建立如下模型 . 假設他 們委托甲購買所有商品 ,即原本他們多人購買同一商品時，不管購買多少件都是付單個訂單的運費 ,此時他們一起買也是付單個訂單的運費 .那么他們就節(jié)省了運費 ,現(xiàn)只需多人承擔單個訂單的運費，從而達到網(wǎng)購所花費用的最優(yōu)化 .（此處考慮總體最優(yōu)） 由題意知一個訂單的應付費用由該訂單的貨款和一次運費組成 ,假設 乙 、 丙 和 丁委托甲買 ,則根據(jù)模型 1 同理可知有以下關系式： Min ?C ??? ?1000131i j ijiji dXP+??? ?1000131i j ijjoT 6 由于需求量要小于等于庫存量 ,所以 ij ijXS? 且其余限制條件與模型 1 類似 . 綜上 ,可建立如下模型： 目標函數(shù)： Min ?C ??? ?1000131i j ijiji dXP+??? ?1000131i j ijjoT . ? 1 , 1 0ij ijij ij ijXSX o o?? ? ?若 則 ， 否 則 模 型 2 的求解過程 分析模型 2 運用 Lingo 軟件編程 (見附錄程序二 ). 四人購物的總體最優(yōu)費用為 元 . 甲的總體最優(yōu)費用為 元 ,乙的總體最優(yōu)費用 元，丙的總體最優(yōu)費用為 元 ,丁的總體最優(yōu)費用為 元 . 購物方案整理后如 附錄中 表 5 所示 . 模型 3 的建立與求解 模型 3 的建立過程 本模型是在打折促銷的前提下 ,同時還需考慮上述最新促銷優(yōu)惠活動的情況 . 建立的模型 (此處不考慮總體最優(yōu)情況 ,即不考慮分擔郵費問題 ） ,因此只需在模型 1的基 礎上考慮最新優(yōu)惠即可 . 假設用 H