【正文】 潮流和形勢發(fā)展需要的 . 在市場經(jīng)濟中有關(guān)產(chǎn)品的效益是由生產(chǎn)的現(xiàn)實條件和需求者的需求量關(guān)系來決定的 ,由于產(chǎn)量與費用的這種波動關(guān)系 ,從而抽象出了優(yōu)化模型 .優(yōu)化模型是在生產(chǎn)中是供應(yīng)者在最節(jié)省能源的情況下獲得最大的效 益 ,對企業(yè)追求最大利潤起到了相當(dāng)重要的作用 .它要求企業(yè)在生產(chǎn)中對原材料做到充分利用 ,正確把握產(chǎn)品產(chǎn)量和費用間的規(guī)律 ,最終又快又好的完成產(chǎn)量 ,使企業(yè)獲得最大利潤 . 優(yōu)化模型是生產(chǎn)計劃和經(jīng)濟管理中的一個經(jīng)典模型 ,在對尋求最大效益方面的應(yīng)用非常廣泛 .例如 公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場需求確定產(chǎn)品價格和生產(chǎn)計劃 ,使利潤達(dá)到最大；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各需求點的運量和路線 ,使運輸總費用達(dá)到最低 .然而簡單優(yōu)化模型假設(shè)提供的原材料、生產(chǎn)環(huán)境以及人力資源都是靜態(tài)的 ,且需求者要求的產(chǎn)量一定 ,但假設(shè)條件在現(xiàn)實 的經(jīng)濟系統(tǒng)中不可能都是靜態(tài)的 ,因此本文我們在分析了簡單的優(yōu)化模型后 ,又介紹了更加符合現(xiàn)實經(jīng)濟條件的動態(tài)優(yōu)化模型 ,并對該模型進(jìn)行了分析 . 隨著國內(nèi)外對優(yōu)化模型的不斷研究和改進(jìn) ,其應(yīng)用領(lǐng)域已不僅僅局限于 單領(lǐng)域范圍 ,也將其運用在石油開采、城市規(guī)劃、人力資源分配等問題的分析上 .當(dāng)前全球經(jīng)濟正處于金融危機的嚴(yán)重影響下 ,如何在當(dāng)前形勢下制定出比較有利的生產(chǎn)計劃對一個企業(yè)來說是非常重要的 ,本文我們將主要運用優(yōu)化模型來研究生產(chǎn)計劃的制定方案 ,并研究結(jié)果來確定比較合理的計劃方案 . 1 優(yōu)化模型的提出背景及實際意義 6 優(yōu)化模型工 作是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃和管理工作中的經(jīng)濟利益預(yù)估服務(wù) .這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型 .優(yōu)化模型在 現(xiàn)代 企業(yè) 管理中有很多的應(yīng)用 ,如物流、生產(chǎn)計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決 . 優(yōu)化模型的提出背景 數(shù)學(xué)模型是對于一個現(xiàn)實對象 ,為了一個特定目的 ,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律 ,做出一些必要的簡化假設(shè) ,運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 ,得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) .數(shù)學(xué)模型是將數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來的 橋梁 ,在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 . 求解實際的最優(yōu)化問題一般要進(jìn)行兩項工作 .第一是將實際問題抽象地用數(shù)學(xué)模型來描述 ,包括選擇優(yōu)化變量 ,確定目標(biāo)函數(shù) ,給出約束條件；第二是對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行必要的簡化 ,并采用適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型 .建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是求解優(yōu)化問題的基礎(chǔ) ,有了正確、合理的模型 ,才能選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉砬蠼?.數(shù)學(xué)模型的建立要求具備與實際問題有關(guān)的專業(yè)技術(shù)知識 ,確定優(yōu)化追求的目標(biāo) ,并推導(dǎo)出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)；分析影響目標(biāo)函數(shù)的因素有哪些 ,它們之間的相互關(guān)系如何 ,選擇哪些參數(shù)作為優(yōu)化變量 ,同時又受到哪些約束條件 的限制 .優(yōu)化變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件是最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的三個基本要素 .這是優(yōu)化模型簡單的要素 . 針對生產(chǎn)計劃制定中的具體要求 ,最常用的兩種優(yōu)化方法是多階段轉(zhuǎn)化和變分法 .根據(jù)實際情況和兩種方法的特點 ,對不同的生產(chǎn)計劃采取不同的方法 . 多階段轉(zhuǎn)化是動態(tài)規(guī)劃中解決多階段決策過程最優(yōu)化的一種方法 .它把困難的多階段決策問題變換成一系列互相聯(lián)系比較容易的單階段問題 ,解決了這一系列比較容易的單階段問題 ,也就解決了這困難的多階段決策問題 .多階段決策問題 ,是指這樣一類活動的過程：在它的每個階段都需要做出決策 ,并且一個階段 的決策確定以后 ,常影響下一個階段的決策 ,從而影響整個過程決策的效果 .多階段轉(zhuǎn)化就是使問題要在允許的各階段的決策范圍內(nèi) ,選擇一個最優(yōu)決策 ,使整個系統(tǒng)在預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)下達(dá)到最佳的效果 .有時階段可以用時間表示 ,在各個時間段 ,采用不同決策轉(zhuǎn)化 ,它隨時間而變動 ,這就有“動態(tài)”的含意 .動態(tài)規(guī)劃就是要在時間的推移過程中 ,在每個時間階段選擇適當(dāng)?shù)臎Q策 ,以便整個系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu) .用動態(tài)規(guī)劃可以解決管理中的最短路問題、裝載問題、庫存問題、資源分配、生產(chǎn)計劃制定等最優(yōu)化問題 . 而 變分法 作為數(shù)學(xué)問題中求極值的一種方法 ,是動態(tài)優(yōu)化模型在生產(chǎn) 計劃制定中的典型應(yīng)用 .變分法是泛函分析（如果變量 J 對應(yīng)于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù) ??xy 都有一個確定的值 ,那么就稱變量 J 為函數(shù) ??xy 的泛函 ,記為 7 ? ?? ?xyJJ ? 式中 ,J 為泛函 ,函數(shù) y 為泛函 J 的宗量 ,x 為函數(shù) y 的自變量 .)中的一種 方法 [4].如果連續(xù)泛函 ??? ?xyJ 的改變量為 [ ( ) ] [ ( ) ]J J y x y J y x?? ? ? ?式總可以表示為 [ ( ) , ] ( ( ) , ) m a xJ L y x y y x y y? ? ? ?? ? ? ?式中 , ]),([ yxyL ? 是 y? 的線性形式； y?max 是 y? 的最大值 .當(dāng)上式中的 0max ?y? 時 , 0)),(( ?yxy ?? ,稱]),([ yxyL ? 為泛函 )]([ xyJ 的變分 ,記作 y? ,寫成 dyJyxyJy y?????? 0])([ ?????式中 , yJ 是泛函 J 對其宗量 y 的偏微分 ,yJJy ???.所謂生產(chǎn)計劃這里簡單的看作是到每一刻 為止的累積產(chǎn)量 .變分法是生產(chǎn)計劃的制定進(jìn)行建立模型的數(shù)學(xué)方法 ,使得在生產(chǎn)中獲得最大的效益 . 變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域 ,和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對 .變分法的關(guān)鍵定理是 歐拉 － 拉格朗日 方程 .它對應(yīng)于泛函的臨界點 .在尋找函數(shù)的極大和極小值時 ,在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似 .18 世紀(jì)是變 分法的草創(chuàng)時期 ,建立了極值應(yīng)滿足的歐拉方程并據(jù)此解決了大量具體問題 .1964 年 ,錢偉長教授明確提出了引進(jìn)拉格朗日成子 （ Lagrange multiplier） 把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法 .日本的鷲津一郎教授、中國科學(xué)院院士 錢偉長 教授和 劉高聯(lián) 教授等都是這方面的世界級大師 .在生產(chǎn)計劃制定中 ,如何選擇使費用最省而經(jīng)濟利益最大 ,變分法是生產(chǎn)最優(yōu)化最成功的方法 . 優(yōu)化模型的實際意義 優(yōu)化模型工作的一個很重要任務(wù)就是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃和管理工作中的經(jīng)濟利益預(yù)估服務(wù) .這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型 .優(yōu)化模型在 現(xiàn)代 企業(yè) 管理中有很多的應(yīng)用 ,如物流、生產(chǎn)計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決 . 基于 優(yōu)化模型 在多方面的實際應(yīng)用 ,我認(rèn)為各個領(lǐng)域的人 才尤其是企業(yè)生產(chǎn)管理者都應(yīng)在這方面有著堅實的基礎(chǔ) ,因為它不僅提高我們自身的素質(zhì)和邏輯思維能力 ,還能指導(dǎo) 企業(yè)家提高企業(yè)的生產(chǎn)效率 ,使企業(yè)獲得最大的利益以便更好的適應(yīng)市場激烈的競爭 . 2 優(yōu)化模型的基本要素及分類 8 優(yōu)化模型的基本要素 優(yōu)化變量 一個實際的優(yōu)化方案可以用一組參數(shù)（如幾何參數(shù)、物理參數(shù)、工作性能參數(shù)等）來表示 .在這些參數(shù)中 ,有些根據(jù)要求在優(yōu)化過程中始終保持不變 ,這類參數(shù)稱為常量 .而另一些參量的取值則需要在優(yōu)化過程中進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)選 ,一直處于變化的狀態(tài) ,這類參數(shù)稱為優(yōu)化變量（或稱為決策變 量、設(shè)計變量） .優(yōu)化變量必須是獨立的參數(shù) .例如 ,如果將舉行的長和寬作為優(yōu)化變量 ,則其面積就不是獨立參數(shù) ,不能再作為優(yōu)化變量了 . 優(yōu)化變量的全體可以用向量來表示 .包含 n 個優(yōu)化變量的優(yōu)化問題稱為 n 維優(yōu)化問題 ,這些變量可以表示成一個 n 維列向量 ,即 ? ?Tnxxxx , 21 ??中 , ),3,2,1( nixi ?? 表示第 i 個優(yōu)化變量 .當(dāng) ix 的值都確定之后 ,向量 x 就表示一個優(yōu)化方案 . 目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是用優(yōu)化變量來表示的優(yōu)化 目標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ,是方案好壞的評價標(biāo)準(zhǔn) ,故又稱為評價函數(shù) [7].怒表函數(shù)通常表示為 ),()( 21 nxxxfxf ?? 求解優(yōu)化問題的實質(zhì) ,就是通過改變優(yōu)化變量獲得不同的目標(biāo)函數(shù)值 ,通過目標(biāo)函數(shù)值的大小來衡量方案的優(yōu)劣 ,從而找出最優(yōu)方案 .目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值 ,也可能是最小值 ,在建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型時 ,一般將目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化表示為極大或極小 . 目標(biāo)函數(shù)的極小化可以表示為 )(m inm in)( xfxf 或? 目標(biāo)函數(shù)的極大化可以表示為 )(m axm ax)( xfxf 或? 求目標(biāo)函數(shù) )(xf 的極大化等效于求目標(biāo)函數(shù) —— )(xf 的極小化 .為規(guī)范起見 ,將求目標(biāo)函數(shù)的極值統(tǒng)一表示為求其極小值 . 在優(yōu)化問題中 ,如果只有一個目標(biāo)函數(shù) ,則其為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題；如果有兩個或兩個以上目標(biāo)函數(shù) ,則其為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題 .目標(biāo)函數(shù)越多 ,對優(yōu)化的評價越周全 ,綜合效果也越好 ,但是問題的求解也越復(fù)雜 . 一個優(yōu)化向量 x 確定 n 維空間中的一個方案點 ,每一個方案點都有一個相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 )(xf 與其對應(yīng)；但是對于目標(biāo)函數(shù)值 )(xf 的某一定值 C ,卻可能有無窮多個方案點與其對應(yīng) .目標(biāo)函數(shù)值相等的所有方案點組成的集合稱為目標(biāo)函數(shù)的等值曲面 .對于二維問題 ,這個點集為等值曲線；對于三維問題 ,這個點集為等值曲面；對于多維問題 ,這個點集為超平面 . 約束條件 9 約束條件是在優(yōu)化中對優(yōu)化變量取值的限制條件 ,可以是等式約束 ,也可以是不等式約束 . 等式約束的形式為 Llxhl ，??? ,2,1,0)( 不等式約束更為普遍 ,形式為 M,2,1,0)( ，??? mxgm 式中 ,L 和 M 分別表示等式約束和不等式約束的個數(shù) .其中 ,等式約束的個數(shù) L必須小于優(yōu)化變量的個數(shù) n ,如果相等 ,則該優(yōu)化問題就成了沒有優(yōu)化余地的既定系統(tǒng) .等式約束 0)( ?xhl 也可以用 0)(0)( ??? xhxh ll 和 兩個不等式約束來代替 .不等式約束 0)( ?xgm 可以用 0)( ?? xgm 的等價形式 代替 . 根據(jù)約束性質(zhì)的不同 ,約束可以分為邊界約束和性能約束兩類 .邊界約束直接用來限制優(yōu)化變量的取值范圍 ,如長度變化的范圍 .性能約束則是根據(jù)某種性能指標(biāo)要求推導(dǎo)出來的限制條件 ,如零件的強度條件 . 優(yōu)化模型的分類 最優(yōu)化問題的類別很多 ,可以從不同角度分類 .以下是一些常見的分類和名稱： (1)按照優(yōu)化約束條件的有無 ,可分為無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題 . (2)按照優(yōu)化變量的個數(shù) ,可分為一維優(yōu)化問題和多維優(yōu)化問題 . (3)按照目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目 ,可分為單目標(biāo)優(yōu)化問題和多目標(biāo)優(yōu)化問題 . (4)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與約束條件線性與否 ,可分為線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題 . (5)當(dāng)目標(biāo)函數(shù) )(xf 為優(yōu)化變量的二次函數(shù) , )(g)( xxh ml 和 均為線性函數(shù)時 ,則該優(yōu)化問題稱為二次規(guī)劃問題 . (6)當(dāng)優(yōu)化變量中有一個或一些只能取整數(shù)時 ,稱為整數(shù)規(guī)劃；如果只能取 0或 1,則稱為 01 規(guī)劃；如果只能取某些離散值 ,則稱為 離散規(guī)劃 . (7)當(dāng)優(yōu)化變量隨 機取值時 ,稱為隨機規(guī)劃 . (8)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù) ,可行域為凸集時 ,該優(yōu)化問題為凸規(guī)劃問題 . (9)優(yōu)化目標(biāo)是一個數(shù)值 ,最優(yōu)策略是函數(shù) ,該優(yōu)化問題為動態(tài)優(yōu)化問題 . 3 生產(chǎn)計劃制定及其求解方法 生產(chǎn)計劃就是企業(yè)為了生產(chǎn)出符合市場需要或顧客要求的產(chǎn)品 ,所確定的在 10 什么時候生產(chǎn) ,在哪個車間生產(chǎn)以及如何生產(chǎn)的總體計劃 .企業(yè)的生產(chǎn)計劃是根據(jù)銷售計劃制定的 ,它又是企業(yè)制定物資供應(yīng)計劃、設(shè)備管理計劃和生產(chǎn)作業(yè)計劃的主要依據(jù) .生產(chǎn)計劃工作的主要內(nèi)容包括：調(diào)查和預(yù)測社會對產(chǎn)品的需求、核定企業(yè)的生產(chǎn)能力 、確定目標(biāo)、制定策略、選擇計劃方法、正確制定生產(chǎn)計劃、庫存計劃、生產(chǎn)進(jìn)度計劃和計劃工作程序、以及計劃的實施與控制工作 . 由上面優(yōu)化變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三要素所組成的最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下 ,尋求一組優(yōu)化變量 ,使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值 .一般約蘇優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)方式為： MmxgLlxhtsRDxxfmln,2,1,0)(,2,1,0)(.),(m in???????? 式中 , ”為“ tosubjectts .. 的縮寫 ,表示“受約束于”或“滿足于”的意思 .當(dāng) 0?L時即為不等式約束優(yōu)化問題；當(dāng) 0?M 時即為等式約束優(yōu)化問題；當(dāng) 0?L , 0?M時便退化為無約束優(yōu)化問題 . 根據(jù)生產(chǎn)計劃制定的特點和實際情況 ,所以 這里只提出針對它的兩種求解方法 —— 多階段轉(zhuǎn)化和變分法 ,并且利用這兩種方法對具體問題進(jìn)行分析與解決 . 多階段轉(zhuǎn)化 多階段轉(zhuǎn)化是指將動態(tài)優(yōu)化的一種 ,它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化成一系列簡單的最優(yōu)化問題 .首先將復(fù)雜的問題分解成相互聯(lián)系的若干階段 ,每個階段都是一個最優(yōu)化子問題 ,然后逐階段進(jìn)行決策（確定于下端的關(guān)聯(lián)） ,當(dāng)所有階段都確定了 ,整個階段的決策也就確定了 . 多階段轉(zhuǎn)化動態(tài)規(guī)劃的提出 令 x 為表示系統(tǒng)狀態(tài)的 n 維列矢量 ,用 kx 描述在時刻 )1,2,1( ??? Nkk ， 的 N 階段系統(tǒng)狀態(tài) .對 N 階段決策過程 ,系