20xx年全國碩士研究生入學統一考試數學四試題解析-展示頁
2024-09-03 10:32本頁面
【正文】 x y? 是由方程 ? ?22x y z x y z?? ? ? ? ?所確定的函數，其中 ? 具有 2 階導數且 1???? 時， 求 (1)dz （ 2）記 ? ? 1, zzu x yx y x y????????? ? ???，求 ux?? . 解： (1) ? ? ? ?22x d x y d y d z x y z d x d y d z? ?? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ?1 2 2d z x d x y d y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221x d x y d ydz ?????? ? ? ? ?? ??? ?1???? (2) ? ?1, ( )1 2 2()111 2 2 211zzu x yx y x yxyxyyxxy??????????? ? ???? ? ? ???????????? ? ???? ? ?????????????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 322 ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )11 1 1 1xzu x xxx???? ? ? ??? ? ? ???? ?? ??????? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? (19)（本題滿分 10 分） ??fx是周期為 2 的連續(xù)函數， （ 1）證明對任意實數都有 ? ? ? ?220tt f x dx f x dx? ??? 第 7 頁 共 11 頁 （ 2）證明 ? ? ? ? ? ?20 2xttg x f t f s d s d t???????????是周期為 2 的周 期函數 ． 解：（ 1）對于 ? ?2tt f x dx??，令 2xu?? ，則 ? ? ? ?20 2ttt f x dx f u du? ???? 因為 ??fx的周期為 2，所以 ? ? ? ?220ttf x dx f x dx? ??? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 2 2 20 2 0ttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx??? ? ? ?? ? ? ? ? （ 2） ? ? ? ? ? ?22022xttg x f t f s d s d t????? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 20 x t x tt x tf t f s d s d t f t f s d s d t? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222xtg x f t f s d s d t????? ? ??????? ? ? ? ? ? ?2 2 22 x x tx x tg x f t dt f s ds dt? ? ?? ? ?? ? ? 因為 ? ? ? ?220tt f x dx f x dx? ??? 所以 ? ? ? ?2 2 2 20x t xx t xf s d sd t f s d sd t? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?222020xxt f s d s f s d s?? ? ? ??? ? ? ? ?22022xx f x dx f x dx? ??? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22002 2 2g x g x f t dt f s ds g x? ? ? ? ??? 所以 ??gx是周期為 2 的周期函數 （ 20） （本題滿分 11 分） 設矩陣2221212 nnaaaAaa ??????????，現矩陣 A 滿足方程 AX B? ，其中 ? ?1, TnX x x? ，? ?1,0, ,0B? ， （ 1）求證 ? ?1 nA n a?? （ 2） a 為何值，方程組有唯一解 （ 3） a 為何 值，方程組有無窮多解 解：① 第 8 頁 共 11 頁 222222121321 012221122aaaaaaaaaAaaaa?? 21301240 3 4 ( 1 )2 ( 1 )3231( 1 )0naaaa a n aa n annan??????? ? ? ? ? ? ?? ②方程組
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