【正文】 解 . 由于 )( axfaxx ?? ?? , 令 z = x – a, 即 x = z + a , 得 f (z) = f ( x – a ) = x ( x – a ) = ( z + a ) z . 再將上式中的 z 換成 x,即得 f (x) = x ( x + a ) . 上述方法稱為 變量代換 , 通過 z = x – a 將 x 換成 z , 然后解出結(jié)果． 3. 反函數(shù) 現(xiàn)在研究指數(shù)函數(shù) y = 2x與對數(shù)函數(shù) y = log 2 x 的關(guān)系 : ?????? ?????? xxgxfx l o gR ) , 0 (: , 2 ) , 0 (R:2?? . 它們的圖象分別是 4 2 2 4 x51015y 5 10 15x43211234y 圖 2,8 圖 注 . 這里函數(shù) f是定義域 fD = R到值域 fR = ( 0 , +? )上的 一一對應 , 即對每個 x = x0 ? fD , 有 唯一的 ?? 020 xy fR 與 x0對應 , 不同的 x 對應著不同的函數(shù)值 y = 2x．反之 , 對每個 y0? fR , 也有唯一的 x0 ? fD 使得 002 yx ? ． 一一對應 在 幾何上表現(xiàn)為 : 每一水平直線 y = y0? fR 與函數(shù)圖象y = 2x相交于唯一的點 ( x0 , y0 ), 其中 020 xy ? : 圖 由此我們把 x0稱為以 2 為底 y0 的對數(shù) , 記作 x0 = log 2 y0 .當 y 取遍 fR 的值 , 就得對數(shù)函數(shù) ?????? yyg2lo gR ) , 0 (: ? . 按傳統(tǒng)習慣 , 用 x 表示自變量 , y 表示因變量 . 因此寫成 ?????? xxg2lo gR ) , 0 (: ? 我們把 g 稱為 f 的反函數(shù) , 往往寫成 g = f –1 . 當然 , 指數(shù)函數(shù) y = 2x , x?R , 也是對數(shù)函數(shù) y = log 2 x, x? ( 0 , +? ), 的反函數(shù) . 定義 . 設(shè)函數(shù)??? ?yx YXf ?:是一一對應 , 即對每一 x?X, 按對應規(guī)律 f 有唯一的 y?Y與之對應 , 反之 , 每一 y?Y , 也有唯一的 x?X 使得 f (x) = y ．由此 , 我們把反過來的對應稱為 f 的 反函數(shù) , 記作 ??? ?? xy XYf ?:1 當然 , f 也是 f –1 的反函數(shù) . 按傳統(tǒng)習慣 , 用 x 表示自變量 , y 表示因變量 . 因此 y = f (x)的反函數(shù)記作 y = f 1 (x) , x? fR . 現(xiàn)把 y= f (x)及其反函數(shù) y = f 1 (x)的圖象畫在同一直角坐標系里 ( 以 y = 2x與 y = log 2 x為例 )： 圖 由于 ( x , y ) ? f? ? y = f (x) ? x = f 1 ( y ) ?( y, x) ?1??f. 因此 , 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱 . 例 考慮函數(shù) y = sin x , x?R ,其值域是 [?1, 1]. 此函數(shù)不是 一一對應 . 例如 , 有無窮多個 ???? kkx , 232 ??? Z 使得 sin x = . 圖 為構(gòu)造出反函數(shù) , 需要把定義域縮小成 [ ?? ? 2 , ? ? 2 ] . 于是函數(shù) ????? ?xxf s in ] 1 , 1 [] 2 , 2 [:??? 為一一對應 , 可得到 f 的反函數(shù) ????? ???xxf a r c s in] 2 , 2 [] 1 , 1 [:a r c s in 1??? 圖 1 1x11y 圖 同理有 ????????????? ???xxxxxx c o tR) , 0 ( , t anR) 2 , 2 ( , c o s ] 1 , 1 [] , 0 [ ??????? 的反函數(shù) , 它們 分別是 ????????????? ???xxxxxx c o ta r c ) , 0 (R:c o ta r c , a r c t a n) 2 , 2 (R:a r c t a n , a r c c o s ] , 0 [] 1 , 1 [:a r c c o s ??????? 其圖象分別是： 1 1x123y20 10 10 20x11y20 10 10 20x123y 圖 圖 圖 例 求 22???xxy 的反函數(shù) 解 . 寫出給定函數(shù)的定義域 ( ?? , 2 ) ? ( 2 , +? ) , 從式 22???xxy 解出1)1(2 ??? yyx, 改寫此式為1)1(2 ??? xxy .再寫出給定函數(shù) 22???xxy 的值域 , 即反函數(shù) 1)1(2 ??? xxy 的定義域是 ( ?? , 1 ) ?( 1 , +? ) . 4. 初等函數(shù) 下表中列出的函數(shù)稱為 基本初等函數(shù) : 名稱 表達式 定義域 常數(shù)函數(shù) y = c x? R 冪函數(shù) y = x?， ?可為任意非零實數(shù) 隨 ? 而定 指數(shù)函數(shù) y = ax , a ? 0 , a ? 1 x? R 對數(shù)函數(shù) y = log a x , a ? 0 , a ? 1 x? ( 0 , +? ) 三 角 函數(shù) 正弦函數(shù) y = sin x x? R 余弦函數(shù) y = cos x x? R 正切函數(shù) y = tan x x ? k? + ? , k ? Z 余切函數(shù) y = cot x x ? k? , k ? Z 正割函數(shù) y = sec x x ? k? + ? , k ? Z 余割函數(shù) y = csc x x ? k? , k ? Z 反 三 角 函數(shù) 反正弦函數(shù) y = arcsin x x? [ ?1 , 1 ] 反余 弦函數(shù) y = arccos x x? [ ?1 , 1 ] 反正切函數(shù) y = arctan x x? R 反余切函數(shù) y = arccot x x? R 反正割函數(shù) y = arcsec x x? ( ?? , ?1? ? [ 1 , +? ? 反余割函數(shù) y = arccsc x x? ( ?? , ?1? ? [ 1 , +? ? 對表中函數(shù)的圖象，請讀者自己研究繪制 ． 定義 . 有限個基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或 復合 得到的函數(shù)稱為 初等函數(shù)． 例 求初 等函數(shù) xx xxy 44a r c c oss inlg 2 ????的定義域． 解 . 該函數(shù)由四個初等函數(shù)經(jīng)四則運算組合而成，考察某點 x 是否在定義域內(nèi)，要看這一點是否在每一個函數(shù)的定義域內(nèi)．因 lgsin x 與 arccos x 的定義域分別是 2k? x ( 2k + 1) ?, k?Z , 與 x? [ ?1 , 1 ] , 故給定函數(shù)的定義域是它們的交集 ( 0 , 1? ． 注 . 分段函數(shù)一般 不是初等函數(shù) ,當然也有少數(shù)例外． 函數(shù)的性態(tài) 1. 函數(shù)的奇偶性 定義 . 設(shè)函數(shù) f (x)的定義域 fD 關(guān)于原點對稱 , 即 x? fD ? ? x? fD , 若 f (?x) = f (x) , x? fD ,則稱 f 為 偶 函數(shù) 。第二章 微積分 本章學習微積分的基本知識 ,包括函數(shù)概念、函數(shù)的極限、導數(shù)與微分、不定積分與定積分、廣義積分與微分方程等基本概念及其簡單計算方法與應用 . 函數(shù) 教學要求 本節(jié)要求讀者在復習中學函數(shù)知識的基礎(chǔ)上加深理解函數(shù)概念 . 1． 掌握由已知函數(shù)產(chǎn)生新函數(shù)的方法 ? 函數(shù)的四則運算，函數(shù)的復合，反函數(shù) , 歸納出初等函數(shù)的概念 . 2． 擴展對函數(shù)種種實例的認識 , 熟悉基本初等函數(shù)的圖象 , 重點掌握復合函數(shù)與分段函數(shù) . 3． 結(jié)合圖象理解函數(shù)的四種性態(tài)：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性 .其中難點是有界性 . 知識點 1. 函 數(shù)概念 2. 由已知函數(shù)產(chǎn)生新函數(shù) 3. 函數(shù)的性態(tài) 4. 其他函數(shù)舉例 函數(shù)概念 1. 映射 我們在中學已學過集合與映射的概念．映射是集合與集合間的對應關(guān)系，它是社會或自然界中錯綜復雜的事物間相互依賴關(guān)系的反映 . 例如 : y 是 x 的兒子 , 我們說 y 與 x 對應． 假如這對父母有三個兒子 , 我們可以用下圖表示 : 圖 這里父母親集合 X ={ x1, x2}, 兒子集合 Y ={y1,y2,y3}, x (可取值 x1,x2)稱為自變量 , y 稱為因變量． 這是一個多值對應 , 與一個自變量值對應的因變量值允許多于一個． 如果說 x 是y 的生父 , 那么 x 與 y 的對應 (兒子對應到他的生父 )就是單值對應了， 如下圖所示． 圖 2. 函數(shù)定義 如果只研究實數(shù)集合 (用 R 或 (∞ ,+∞ )表示 )或其子集合之間的單值對應 , 這種映射就是函數(shù) . 函數(shù)定義 . 設(shè) X 與 Y 都是 R 的子集合 , 對于 X 中每個元素 ( 即數(shù) ) x ,按照一個確定的規(guī)則 ( 記作 f ),唯一對應著 Y 的一個元素 y ,常記作 : yxf ? 或 y =f (x) , 我們稱 f 是 集合 X 到集合 Y 的函數(shù)，記作 ??? ?yx YXf ?: ,x 與 y 分別稱為自變量與因變量， X稱為定義域， y =f (x)也稱為函數(shù) f 在 x 處的值 .同時 ,也常用 y =f (x) , x?X 表示這個函數(shù) .當 x 取遍 定義域中所有數(shù)時 , 對應函數(shù)值全體組成的集合 f (X )={y ? y = f (x), 對某個 x?X } 稱為函數(shù) f : X ?Y 的值域 . 函數(shù) f 的 定義域與值域分別用 fD 與 fR 表示 . 注 . 定義域與對應規(guī)律是函數(shù)概念的兩個基本要素． 函數(shù) 圖象 . 直角坐標平面上集合 f? = {(x, y) ? x? fD , y = f(x)}稱為函數(shù) y = f(x)的 圖象 . 例 一次 (線性 )函數(shù) f (x) = 3x+2. 這是純數(shù)學函數(shù) , 摒棄了任何實際意義 , 其自變量允許取任何實數(shù) , 因 此其定義域 fD = R . 給定 x的任何一個實數(shù)后 , 先用 3 乘 , 再加 2, 就得對應函數(shù)值．例如 :： f (4) = 3 4+2 = 14 ． f 就表示從 x 到 3x+2 的函數(shù)關(guān)系： ??? ?? 23 RR: xxf ? 此函數(shù)的值域顯然是 fR = R, 其圖象是一條直線． 圖 3. 分段函數(shù) 若函數(shù) f 的定義域被分成若干部分 , 各部分上 f 的對應規(guī)律用不同方式表達 , 則 f 稱為分段函數(shù) . 例 1996 年起，天津市人民政府根據(jù)國家規(guī)定與天津市實際情況制訂了個人所得稅征收標準，其計算辦法如下表所列．試建立每月個人應交納的稅款 y 與月收入 x 間的函數(shù)關(guān)系． 級數(shù) 全月收入額 x ( 元 ) 稅率 ( % ) 速算扣除數(shù) ( 元 ) 1 1000 ? x ? 1500 5 0 2 1500 x ? 3000 10 25 3 3000 x ? 6000 15 125 4 6000 x ? 21000 20 375 5 21000 x ? 41000 25 1375 6 41000 x ? 6