【正文】 ?，即 2y x 4x??。 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線 2y ax bx c? ? ? 經(jīng)過點（ 0， 0），（ 4， 0）， 教育網(wǎng) ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 ? ?y ax x 4??。 4.（ 2020 年 浙江金華 14 分） 如圖，拋物線 2y ax bx c? ? ? 經(jīng)過點 O(0,0)， A(4,0)， B(5,5)，點 C 是 y 軸負半軸上一點，直線 l 經(jīng)過 B,C 兩點，且 OC 5tan B 9?? （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）求直線 l 的解析式； （ 3）過 O,B兩點作直線，如果 P 是直線 OB 上的一個動點，過點 P 作直線 PQ平行于 y軸，交拋物線于點 Q。可得到 ∠ AFO=90176。 ‘ （ 2）按邊相等的不同情況討論。 【考點】 動點問題， 切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長的計算，分類思想的應(yīng)用。 ∴∠ F1DF2=600。 ∴∠ OAC2=600。 ∴∠ OAC1=300。 連接 DF1， DF2，則點 F 移動的行程為 12FF 。 ∴∠ AFO 始終為直角，且 OA為定值 OA=3。 綜上所述，存在 m 的值，使得 ΔAEF是等腰三角形， m 的值為 2， 54 ， 13 2? 。 ② 若要 AE=FE，則要 AC=CB，即 29 m 2 m? ? ? ，解得 5m4? 。 由（ 1） ΔAFE∽ ΔABC， ∴ 若要使 ΔAEF是等腰三角形，必須 ΔABC是等腰三角形。 （ 2）存在。 教育網(wǎng) 【答案】 解：（ 1）根據(jù)題意，由切割線定理，得： 2A E A B A O A F A C? ? ? ?，即 AE AFAC AB? 。 （ 3）觀察當點 C 在 x軸上移動時，點 F 移動變化的情況。 （?。┣笞C： ΔAFE∽ ΔABC 。 （ 3）分點 E 在 DC 上和點 E 在 CB 上兩種 情況討論即可。構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)即可求出 AD 與 AB 的長。．根據(jù)勾股定理便可求出 AD 的長。 【考點】 動 點問題，圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)，由實際問題建立函數(shù)關(guān)系式，解二元方程組，分類思想的應(yīng)用。 ∴ BF = y 17 43?? 。 解得， y 17 43?? 。 ∴ 若 直線 EF能將四邊形 PBCD的周長和面積同時平分，則 ： 教育網(wǎng) ? ? ? ?? ? ? ?x 1 6 1 5 2 5 y 1 2 x y1 6 2 5 y 111 2 x y y 1 2 x2 2 2? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???，即 x y 22xy 12 y 246 0???? ? ? ??。 ∴ 若點 E 在 DC 上，不存在 直線 EF 將四邊形 PBCD 的周長和面 積同時平分。理由如下： ① 如圖 3，若點 E 在 DC 上，設(shè) CE =x， BF =y， ∵ PD=15， PA=9， AD=CB=12， DC=16， PB=25， ∴ DE=16－ x， PF=25－ y。 ∴ ? ?2P E F 1 1 4 3 2 6 8y S E N P F x x x x 0 x 1 52 2 5 4 5 5 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 ∴ PE+PF=34。 ∴ AB=AD?tan∠ ADB=12 4 163? ? 。 ∴∠ P=∠ ADB。 ∴∠ PDB=90176。 ∵ PD=15， PA=9， ∴ AD=12。 ∴∠ PAD=∠ BAD=90176。 （ 1）求 AD 與 AB 的長； （ 2）如果點 E 為 PD的一個動點（不與運動至 P， D），過點 E作直線 EF，交 PB于點 F，并將四邊形 PBCD的周長平分，記 △ PEF 的面積為 y， PE 的長為 x，請求出 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）如果點 E 為折線 DCB 上一個動點（不與運動至 D， B），過點 E 作直線 EF 交 PB于點 F，試猜想直線EF 能否將四邊形 PBCD 的周長和面積同時平分？若能，請求出 BF 的長；若不能，請說明理由。在直角 △ OBP 中，由正切定理可求出BP 的長。即 OF⊥ OP 。=90176。 【分析】 （ 1）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求四邊形 CDFP 的邊轉(zhuǎn)化為已知正方形 ABCD 的邊，即可求得。= 3 。 ∴ BP=OB－ 30176。 此時 ∠ EOF=30176。 ∴ 當 ∠ EHG=∠ AOE=2∠ EOF,即 ∠ EOF=30176。 教育網(wǎng) （ 3）存在。 ∴∠ EOP=90176。 ∴∠ EOF+∠ EOP=12 180176。 ∴∠ AOF=∠ EOF。 （ 2）證明：連結(jié) OE， ∵ PF是 ⊙ O 的切線， ∴ OE⊥ PF。 又 ∵ PF是 ⊙ O 的切線， ∴ EF=FA， PE=PB 。 【答案】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是正方形 ， ∴∠ A=∠ B=900。 （ 1）求四邊形 CDFP 的周長； （ 2）請連結(jié) OF， OP，求證： OF⊥ OP； （ 3）延長 DC， FP 相交于點 G，連結(jié) OE 并延長交直線 DC 于 H(如圖乙 )。 綜上所述，其他符合條件的點 P 坐標是（ 0， 0），（ 0， 34? ），（ 0，－ 3）。 教育網(wǎng) 若 MN 為斜邊，則 ∠ ONP=45176。 這時點 P 的坐標為（ 0， 32 ）。 【分析】 由題意，應(yīng)分 M 在第二象限和第三象限兩類情況討論：每種情況又分 MN 為直角邊時和 MN 為斜邊兩種情況： ① 當 M 在第二象限，運動到（－ 1， 1）時， ON=1， MN=1， ∵ MN⊥ x軸， ∴ 由 ON=MN 可知，（ 0， 0）是符合條件的 P 點； 若 MN 為斜邊時，則 NP=MP， ∠ MNP=45176。 教育網(wǎng) 20202020 年 浙江 11 市中考數(shù)學(xué)選擇填空解答壓軸題分類解析匯編 專題 10：存在性問題 一、選擇題 【 版 江 泰 州 元 工 作 室 所 有 ， 必 究 】權(quán) 歸 蘇 錦 數(shù) 學(xué) 鄒 強 轉(zhuǎn) 載 二、填空題 【 版 江 泰 州 元 工 作 室 所 有 ， 必 究 】權(quán) 歸 蘇 錦 數(shù) 學(xué) 鄒 強 轉(zhuǎn) 載 1.（ 2020 年 浙江金華 5 分） 如圖，點 M 是直線 y＝ 2x ＋ 3 上的動點，過點 M 作 MN 垂直于 x 軸于點 N， y 軸上是否存在點 P，使 △ MNP 為等腰直角三角形 .小明發(fā)現(xiàn) ：當動點 M 運動到（－ 1， 1）時， y 軸上存 在點 P（ 0， 1） ,此時有 MN=MP，能使 △ NMP 為等腰直角三角形 .那么，在 y 軸和直線上是否還存在符合 條件的點 P 和點 M 呢？請你寫出其它符合條件的點 P 的坐標 ▲ ． 【答案】 （ 0， 0），（ 0， 32 ），（ 0，－ 3）。 【 考點】 動點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 設(shè)點 M（ x， 2x+3），則 OP=ON，而 OP=12 MN， 則有 ? ?1x 2x 32? ? ? ，解得 3x 4?? 。 ② 當 M 運動到第三象限時， 若 MN=MP，且 PM⊥ MN，設(shè)點 M（ x， 2x+3）， 則有 ? ?x 2x 3? ?? ? ，解得 x=－ 3，這時點 P 坐標為（ 0，－ 3）。 ON=OP，設(shè)點 M（ x， 2x+3）， 則有 ? ?1x 2x 32? ?? ? ，這方程無解，所以這時不存在符合條件的 P 點。 三、解答題 【 版 江 泰 州 元 工 作 室 所 有 ， 必 究 】權(quán) 歸 蘇 錦 數(shù) 學(xué) 鄒 強 轉(zhuǎn) 載 1.（ 2020年 浙江溫州 、臺州 12 分） 如圖甲，正方形 ABCD的邊長為 2，點 M 是 BC的中點， P 是線段 MC 上的一個動點 (不運動至 M， C),以 AB 為直徑作 ⊙ O，過點 P 的切線交 AD 于點 F，切點為 E。是否存在點 P 使 △ EFO∽△ EHG（其對應(yīng)關(guān)系是 E? E， F? H， O? G）？如果存在，試求此時的 BP 的長；如果不存在，請說明理由。 ∴ AF、 BP 都是 ⊙ O 的切線。 ∴ 四邊形 CDFP 的周長為 AD+DC+CB=23=6。 在 Rt△ AOF 和 Rt△ EOF 中， ∵ AO=EO， OF=OF， ∴ Rt△ AOF∽ Rt△ EOF。 同理 ∠ BOP=∠ EOP。=90176。即 OF⊥ OP 。 ∵∠ EOF=∠ AOF， ∴∠ EHG=∠ AOE=2∠ EOF。時， Rt△ EOF∽ Rt△ EHG。 ∠ BOP=∠ EOP=90176。=60176。tan60176。 【考點】 正方形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形 的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義。 （ 2）連結(jié) OE，根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，求出 ∠ EOF+∠ EOP=12 180176。即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到 ∠ EOP=90176。 （ 3）要 △ EFO∽△ EHG，必須 ∠ EHG=∠ EFO=2∠ EOF=60176。 2.（ 2020年 浙江金華 12 分） 已知：四邊形 ABCD 為圓內(nèi)接矩形，過點 D作圓的切線 DP，交 BA的延長線于點 P，且 PD=15， PA=9。 【答案】 解：（ 1）如圖 1 連接 BD， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD⊥ PB。 ∴△ PAD 與 △ ABD 都是直角三角形。 教育網(wǎng) ∵ DP 切 ⊙ O 于 D， ∴ BD⊥ DP。 ∵∠ P＋ ∠ ADP=∠ ADP＋ ∠ ADB=90176。 ∵ A D 1 2 4tan P A P 9 3? ? ? ?， ∴ A B 4tan A D B A D 3? ? ?。 （ 2）如圖 2，過點 E 作直線 EF，交 PB 于點 F，并將四邊形PBCD 的周長平分， ∵ AB=16， AD=12， ∴ 四邊形 PBCD 的周長為： 15+16+12+16+9=68。 ∵ PE=x， ∴ PF=34－ x， EN=PE?sin∠ P=4x5 。 （ 3）能。 ∴ 若 直線 EF 能將四邊形 PBCD 的周長和面積同時平分，則 ： ? ? ? ?? ? ? ?1 6 x 1 5 2 5 y x 1 2 y1 6 x 2 5 y xy1 2 1 222? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ???，即 x y 2241xy2????? ????，無解。 ② 如圖 4，若點 E 在 CB 上，設(shè) CE =x， BF =y， ∵ PD=15， PA=9， AD=CB=12， DC=16， PB=25， ∴ BE=12－ x， PF=25－ y。 將 x y 22?? 代入 xy 12y 246 0? ? ?得 ? ?y 2 2 y 1 2 y 2 4 6 0? ? ? ?，即 2y 34y 246 0? ? ?。 ∵ y 17 43?? 時， x 1 7 4 3 2 2 5 4 3 0? ? ? ? ? ?，不合題意，舍去。 ∴ 若點 E 在 CB 上，存在 直線 EF 將四邊形 PBCD 的周長和面積同時平分，此時， BF 17 43?? 。 【分析】 （ 1）由四邊形是圓內(nèi)接矩形可知， ∠ PAD=90176。因為 PD是 ⊙ O 的切線，所以根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是 90176。 （ 2）因為 PE=x，所以根據(jù) EN=PE?sin∠ P=4x5 ，建立起 EN 和 x 之間的關(guān)系，利用三角形的面積公式求出 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式。 3.（ 2020年 浙江衢州 14分） 如圖，在平面直角坐標系中，已知 ΔABC的頂點坐標分別為 A（ 0， 3）， B（－ 2，0） ,C(m， 0),其中 m OB， OC 為直徑的圓分別交 AB 于點 E，交 AC 于點 F，連結(jié) EF。 （ 2）是否存在 m 的值，使得 ΔAEF是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由。試求點 C1（ 3 ， 0）移動到點 C2（ 3 3 ， 0）點 F移動的行程。 又 ∵∠ EAF=∠ CAB（公共角）， ∴ ΔAFE∽ ΔABC 。 ∵ A（ 0， 3）， B（－ 2， 0） ,C(m， 0)，即 OA=3， OB=2， OC= m， BC=2＋ m ∴ 根據(jù)勾股定理，得 2 2 2 2 2A B O A O B 1 3 A C O A O C 9 m? ? ? ? ? ? ?。 ① 若要 AE=AF，則要 AC=AB，即 29 m 13??，解得 m2?? （－ 2 舍去）。 ③ 若要 AF=FE，則要 AB=CB，即 13 2 m?? ，解得 m 13 2??。 （ 3）連接 OF，則 ∠ CFO=900。 ∴ 點 F移動的行程在以 AO的中點 D為