數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)外文翻譯-外文文獻(xiàn)-展示頁(yè)
2025-01-31 11:52本頁(yè)面
【正文】 (95 5) 那么，根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo) 的性質(zhì)，再令 0x? (冪級(jí)數(shù)顯然在 0x? 點(diǎn)收斂 )，就容易得到 ()20 1 2 ( 0 ) ( 0 )( 0 ) , ( 0 ) , , , , ,2 ! !n nnffa f a f x a x a xn???? ? ? ?… …． 將它們代入 (9 5 5)式，所得與 ()fx的馬克勞林展開(kāi)式 (9 5 4)完全相同． 綜上所述，如果函數(shù) ()fx在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項(xiàng)以零為極限 (當(dāng) n?? 時(shí) )，那么，函數(shù) ()fx就可展開(kāi)成形如 (9 5 4)式的冪級(jí)數(shù)． 冪級(jí)數(shù) ()000 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ! !n nf x f xf x f x x x x xn?? ? ? ? ? ?… …, 稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)． 二、 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 利用馬克勞林公式將函數(shù) ()fx展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，稱(chēng)為直接展開(kāi)法． 例 1 試將函數(shù) ()xf x e? 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)． 解 因?yàn)? ()()nxf x e? , ( 1,2,3, )n? … 所以 ()( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 1nf f f f? ??? ? ? ?…， 于是我們得到冪級(jí)數(shù) 2111 2 ! ! nx x xn? ? ? ? ?… …， (9 5 6) 顯然， (9 5 6)式的收斂區(qū)間為 ( , )???? ，至于 (9 5 6)式是否以 ()xf x e? 為和函數(shù)，即它是否收斂于 ()xf x e? ，還要考察余項(xiàng) ()nrx． 2021 .數(shù)學(xué)分析原理 .數(shù)學(xué)分析原
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