【正文】 共8解，下圖為其中一解，其余解均可由其翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)得到：方法二（對易法）：南宋數(shù)學家楊輝概括為:“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”．即：先把到九個數(shù)字按順序斜著排列，再把上下的數(shù)字和對調(diào)，左右的數(shù)字和對調(diào)，最后把個不在邊上也不在最中心的數(shù)字拉到角上，一個三階幻方就形成了． 方法三（階梯法）：階梯法也叫樓梯法，是法國數(shù)學家巴赫特創(chuàng)造的．這個方法看起來有點像對易法，但又完全不一樣，十分簡單而巧妙，適用于所有奇數(shù)階幻方．這個方法把階方陣從四周向外擴展成階梯狀，然后把個自然數(shù)順階梯方向先碼放好，再把方陣以外部分平移到方陣以內(nèi)其對邊部分去，即構(gòu)成幻方．下圖表示了如何用階梯法構(gòu)成3階幻方．方法二和方法三中將按8個不同的方位排列就可以得到本題8個不同的解．方法四（羅伯法）：把（或最小的數(shù)）放在第一行正中，按以下規(guī)律排列剩下的數(shù)：⑴ 每一個數(shù)放在前一個數(shù)的右上一格；⑵ 如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最頂行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列．⑶ 如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行．⑷ 如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)填好了其它的數(shù)，或者同時超出了最頂行和最右列，那么就把它放在前一個數(shù)的下面，具體如下圖：這是法國人羅伯特總結(jié)出的方法，所以叫“羅伯法”．羅伯法的口訣：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．它對于構(gòu)造連續(xù)自然數(shù)（以及能構(gòu)成等差數(shù)列的數(shù)）幻方是最簡單易行的，適用于所有奇數(shù)階幻方．【答案】【例 2】 的正方形格子中，在每個格子里分別填入的個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三個數(shù)的和相等（請給出至少一種填法）．【考點】構(gòu)造幻方 【難度】2星 【題型】填空【解析】 第一步：求幻和：．第二步：求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點的數(shù)叫“中心數(shù)”，仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：除了對角線外，第二行、第二列也分別經(jīng)過中心數(shù)，那么，經(jīng)過中心數(shù)的四條線段上的數(shù)字總和是幻和的4倍，即，顯然，在這個總和中，中心數(shù)用了四次，其余各數(shù)正好各用一次，所以中心數(shù)應是：．第三步：確定四個角上的數(shù)：用嘗試法，不難推知，四個角只能是奇數(shù)．第四步：用嘗試法填一個基本解，以基本解為基礎，可繞中心旋轉(zhuǎn)與對調(diào)得到其它各解，共8解．下圖為其中一解，其余解均可由其翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)得到：其他方法這里不再做介紹，同學們可以自己嘗試練習．　　　　　【答案】【例 3】 用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。 假設法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進行假設，當然，假設也是原則的，我們不能進行無意義的假設，假設的原則是：如果通過假設一個空格的數(shù)字，可以確定和這個空格處在同一個單元內(nèi)的其它某一個或者某幾個空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設為佳。舉例說明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置不可能出現(xiàn)1或者2. 相對排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選數(shù)字進行對比分析來確定它們中的某一個或者幾個空格?？偨Y(jié)4個小技巧： 巧選突破口：數(shù)獨中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來分析每一個空格的可選數(shù)字的個數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而大小數(shù)獨中已知的數(shù)字往往非常少，這個時候大小關系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外更加需要考慮大小關系的限制。數(shù)獨本是“獨立的數(shù)字”的省略，因為每一個方格都填上一個個位數(shù)。如今數(shù)獨的雛型首先于1970年代由美國的一家數(shù)學邏輯游戲雜志發(fā)表，當時名為Number Place。3．③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數(shù)和247。（一）教學目標1. 會用羅伯法填奇數(shù)階幻方2. 了解偶數(shù)階幻方相關知識點3. 深入學習三階幻方知識點撥一、幻方起源也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源于我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點點是什么意思．一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再泛濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖： 我國北周時期的數(shù)學家甄鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”這段文字說明了九個數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學習認識了解它們．二、幻方定義幻方是指橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的的數(shù)陣稱作三階幻方，的數(shù)陣稱作四階幻方，的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣， 三、解決這幻方常用的方法⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣． ⑵適用于三階幻方的三大法則有：①求幻和： 所有數(shù)的和247。行數(shù)（或列數(shù)）②求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點的數(shù)叫“中心數(shù)”，中心數(shù)＝幻和247。2．四、數(shù)獨數(shù)獨簡介：（日語：數(shù)獨　すうどく）是一種源自18世紀末的瑞士，后在美國發(fā)展、并在日本得以發(fā)揚光大的數(shù)學智力拼圖游戲?，F(xiàn)今流行的數(shù)獨于1984年由日本游戲雜志《パズル通信ニコリ》發(fā)表并得了現(xiàn)時的名稱。 數(shù)獨可以簡單的數(shù)為：讓行與列及單元格的數(shù)字成規(guī)律性變換的一類數(shù)字謎問題解題技巧：數(shù)獨游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨一個空格只位于兩個單元之內(nèi)，但是同時多了一個大小關系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。 相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會出現(xiàn)什么數(shù)字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個數(shù)字，還有4個數(shù)字（我們假設是4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道A1可以填入4，A2可以填入3，A3可以填入3，A4可以填入3，這個時候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進行確定。舉例說明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個時候我們就應該假設B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然后以這個為基礎進行推理，如果推出違反規(guī)則的情況出現(xiàn)，那么這個假設就是錯誤的，我們回到假設點重新開始。【考點】構(gòu)造幻方 【難度】2星 【題型】填空 【解析】 方法一：給出的九個數(shù)形成一個等差數(shù)列，1～9也是一個等差數(shù)列．不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里的數(shù)字應填等差數(shù)列的中間數(shù)，也就是第五個數(shù)，即應填19；填在四個角上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項的數(shù)，即13，17，21，25，而且對角兩數(shù)的和相等，即；余下各數(shù)就不難填寫了(見下圖)．　　 與幻方相反的問題是反幻方．將九個數(shù)填入(三行三列)的九個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方． 方法二：用階梯法，在三階幻方的上下左右的中間添加一格，先將數(shù)字按從小到大的順序，以斜行方向從左下向右上依次填寫，再把添加格內(nèi)的數(shù)填到本行(或本列)中相隔兩行(或兩列)的方格中． 方法三：對易法：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出． 方法四：用羅伯法的口訣：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．【答案】【例 4】 如下圖的的陣列中填入了的自然數(shù)，構(gòu)成大家熟知的3階幻方．現(xiàn)在另有一個 的陣列，請選擇9個不同自然數(shù)填入9個方格中，使得其中最大者為20，最小者大于5，且要求橫加、豎加、對角線方式相加的3個數(shù)之和都相等． 【考點】構(gòu)造幻方 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 觀察原表中的各數(shù)是從1～9不同的九個自然數(shù)，其中最大的數(shù)是9，最小的數(shù)是1，且橫加、豎加、對角線方式相加結(jié)果相等．根據(jù)題意，要求新制的幻方最大數(shù)為20，而，因此，如果原表中的各數(shù)都增加11，就能符合新表中的條件了．如下圖．【答案】【例 5】 從3…20這20個數(shù)中選出9個不同的數(shù)放入33的方格表中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等?！究键c】幻方性質(zhì) 【難度】4星 【題型】解答【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第4題【解析】最多有7個質(zhì)數(shù)【答案】【例 6】 請你將這二十五個自然數(shù)填入的空格內(nèi)使每行、每列、每條對角線上的五數(shù)之和相等．【考點】構(gòu)造幻方 【難度】2星 【題型】填空【解析】 ①羅伯法：教師邊寫邊說口訣：“一居上行正中央，后數(shù)依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣”．見第二個圖．這是法國人羅伯特總結(jié)出的“羅伯法”，它對于構(gòu)造連續(xù)自然數(shù)（以及能構(gòu)成等差數(shù)列的數(shù)）幻方是最簡單易行的，適用于所有奇數(shù)階幻方． ②階梯法：階梯法也叫樓梯法，是法國數(shù)學家巴赫特創(chuàng)造的．這個方法十分簡單而巧妙，適用于所有奇數(shù)階幻方．這個方法把階方陣從四周向外擴展成階梯狀，然后把個自然數(shù)順階梯方向先碼放好，再把方陣以外部分平移到方陣以內(nèi)其對邊部分去，即構(gòu)成幻方．下面的圖⑴和圖⑵表示了如何用階梯法構(gòu)成5階幻方．圖⑴中頂邊以上的10三個數(shù)在圖⑵中被移入底邊上方相應的3個原先為空的方格中，其余三側(cè)照此處理． ⑴ ⑵⑵練習：大家一起來練習用羅伯法寫個七階的幻方，注意強調(diào)細節(jié)．上出框與右出框的處理有時不容易把握，老師隆重推薦大家一種方法——“卷紙筒”，即把上下邊重合在一線，則上出框后往右上填的位置正好在下邊的對應點上．強調(diào)這種方法適用于任意奇數(shù)階幻方．【答案】模塊二、幻方性質(zhì)【例 7】 將九個數(shù)填入下圖的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于定數(shù)，則中心方格中的數(shù)必為． 【考點】幻方性質(zhì) 【難度】4星 【題型】解答【解析】 略【答案】因為每行的三數(shù)之和都等于，共有三行，所以九個數(shù)之和等于．如右上圖所示，經(jīng)過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個數(shù)之和都等于k，四條虛線上的所有數(shù)之和等于，其中只有中心方格中的數(shù)是“重疊數(shù)”，九個數(shù)各被計算一次后，它又被重復計算了三次．所以有：　　 九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)，　　 中心方格中的數(shù)，　　 中心方格的數(shù)　　 注意：例題中對九個數(shù)及定數(shù)都沒有特殊要求．這個結(jié)論對求解方格中的數(shù)陣問題很實用．【例 8】 請編出一個三階幻方，使其幻和為24．【考點】幻方性質(zhì) 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 ⑴根據(jù)題意，要求其三階幻方的幻和為24，所以中心數(shù)為．⑵既然8是中心數(shù)，那么與8在一條直線的各個組的其余兩數(shù)的和為16，想一想哪兩個數(shù)相加為16呢？，　　 ⑶按上述條件進行估算后填出，然后再進行調(diào)整即可得正確的答案．　【答案】【鞏固】 將九個連續(xù)自然數(shù)填入下圖的九個空格，使每一橫行及每一豎列的三個數(shù)之和都等于60． 【考點】幻方性質(zhì) 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 介紹三階幻方時，我們已經(jīng)知道了的填法及各行各列三個數(shù)相加的和均為15，現(xiàn)在要求每一橫行及每一豎列的三個數(shù)之和為60，顯然每個數(shù)增加就可以了．右上圖為其中一個解．【答案】【例 9】 將九個數(shù)填入下圖的空格中，使得每行、每列以及每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，證明：【考點】幻方性質(zhì) 【難度】4星 【題型】解答【解析】 略【答案】設中心數(shù)為(如上圖)，因此每行、每列以及每條對角線上的三個數(shù)之和都等于，第一行中間的數(shù)為，右下角的數(shù)為．根據(jù)第一行和第三列可求出右上圖中*的數(shù)，由此可得：所以【例 10】 在下圖中的、處填上適當?shù)臄?shù)，使下圖成為一個三階幻方．【考點】幻方性質(zhì) 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 ⑴ 從1行和3列得：，．⑵ 觀察對角線上的三個數(shù)的總和，實際上它即為每行、每列的三個數(shù)的和．對角線上的三個數(shù)的和：．　　 ⑶ ．　　 ⑷ ．　　 ⑸ ．∴、．【答案】、【鞏固】 在圖的九個方格里，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等，則N= 。那么標有“★”的方格內(nèi)應填入的數(shù)是_______.【考點】幻方性質(zhì) 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第4題，6分【解析】【答案】【例 11】 在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下圖．請你在其他方格中填上適當?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個方向的三個數(shù)之和均為27．