【正文】 但是，其中三個紅色氣球是不能隨意排列的，應(yīng)該是固定由下到上的，而上面卻包括了它的隨意排列的情況，所以應(yīng)該除以，其他黃色氣球、綠色氣球依此類推．所以共有射擊方法：(種)．本題也可以這樣想：任意一種打法都對應(yīng)9個物體的排列，從中先選出3個位置給紅色氣球，有種選法；這3個紅色氣球的順序是固定的，所以它們之間只有一種排列順序；再從剩下的6個位置中選出2個給黃色氣球，有種選法；它們之間也只有一種排列順序；剩下的4個位置給綠色氣球，它們之間也只有一種排列順序．所以，根據(jù)乘法原理，共有種不同的射法．【答案】【例 15】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【答案】【例 16】 有藍色旗面，黃色旗面，紅色旗面．這些旗的模樣、大小都相同．現(xiàn)在把這些旗掛在一個旗桿上做成各種信號，如果按掛旗的面數(shù)及從上到下顏色的順序區(qū)分信號，那么利用這些旗能表示多少種不同信號? 【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 按掛旗的面數(shù)來分類考慮．第一類：掛一面旗．從藍、黃、紅中分別取一面，可以表示種不同信號；第二類：掛兩面旗．按顏色分成：紅黃（種）；紅藍（種）；黃藍（ 種）；黃黃（種）；藍藍（種）；共種；第三類：掛三面旗．按顏色分類：紅藍藍（種）；紅黃黃（種）；紅黃藍（種）；黃黃藍（種）；黃藍藍（種）；藍藍藍（種）；共種；第四類：掛四面旗．按顏色分類：紅黃黃藍（或種）；紅黃藍藍（或種）；紅藍藍藍（種）；黃黃藍藍（種）；黃藍藍藍（種），共種；第五類：掛五面旗．按顏色分類：紅黃黃藍藍（種）；紅黃 藍藍藍（種）；黃黃藍藍藍（種），共種；第六類：掛六面旗．紅黃黃藍藍藍（種）．根據(jù)加法原理，共可以表示種不同的信號．【答案】【例 17】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人． 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；⑶人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；⑷從所有的選法種中減去這個人同時入選的種：．⑸分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：．【答案】⑴種；⑵；⑶種；⑷．⑸．【例 18】 從名男生，名女生中選出名代表．⑴ 不同的選法共有多少種？⑵ “至少有一名女生”的不同選法共有多少種？⑶ “代表中男、女生都要有”的不同選法共有多少種？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 相當于從名學(xué)生中任意選名，不同的選法有(種)．⑵ 方法一：可以分成三類：①選名女生，選名男生．由乘法原理，有(種)選法；②選名女生，選名男生．由乘法原理，有(種)選法；③選名女生，男生不選，有種選法．根據(jù)加法原理，“至少有一名女生”的不同選法有(種)．方法二：先不考慮對女生的特殊要求，從從名學(xué)生中任意選名，有(種)選法；考慮一個女生都不選的情況，則名代表全產(chǎn)生于男生中，有 (種)選法，所以，至少選一名女生的選法有種，這種“去雜法”做起來也比較簡單．⑶ “代表中男、女生都要有”，可以分成兩類：①名男生，名女生，由乘法原理，有(種)選法；②名男生，名女生，由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同選法共有(種)．【小結(jié)】選擇問題是組合問題中的一類常見問題，可根據(jù)具體情況從正面考慮或逆向求解，采用“去雜法”．【答案】⑴ ⑵ ⑶【鞏固】 在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？⑴ 有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；⑵ 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；⑶ 至少有一名主任參加；⑷ 既有主任，又有外科醫(yī)生． 【考點】組合之基本運用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 ⑴ 先從名內(nèi)科醫(yī)生中選名，有種選法；再從名外科醫(yī)生中選名，共有種選法．根據(jù)乘法原理，一共有選派方法種．⑵ 用“去雜法”較方便，先考慮從名醫(yī)生中任意選派人，有 種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況．由于外科醫(yī)生只有人，所以不可能只派外科醫(yī)生．如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法．所以，一共有種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法．⑶ 如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．⑷ 分兩類討論：①若選外科主任，則其余人可任意選取，有種選取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有種選取法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷【例 19】 在10名學(xué)生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？ 【考點】組合之基本運用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 按具有雙項技術(shù)的學(xué)生分類：⑴ 兩人都不選派，有(種)選派方法；⑵ 兩人中選派人，有種選法．而針對此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法．⑶ 兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)．【答案】⑴ ⑵ ⑶ 【例 20】 有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？ 【考點】組合之基本運用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 針對兩名英語、日語都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類：⑴ 多面手不參加，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑵ 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中再選出名，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇．⑶ 多面手中兩人均入選，對應(yīng)一種選擇，但此時又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種．情況①中，還需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇．需從名日語翻譯員中選人，種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇．還需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張．【小結(jié)】組合問題中出現(xiàn)“多面手”時，往往“多面手”是進行分類討論的對象，這樣可以簡化問題．【答案】⑴ ⑵ ⑶【鞏固】 某旅社有導(dǎo)游人，其中人只會英語，人只會日語，其余個既會英語又會日語．現(xiàn)要從中選人，其中人做英語導(dǎo)游，另外人做日語導(dǎo)游．則不同的選擇方法有多少種？ 【考點】組合之基本運用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 此題若從“多面手”出發(fā)來做，不太簡便，由于只會日語的人較少，所以針對只會日語的人討論，分三類：⑴ 只會日語的人都出場，則還需個多面手做日語導(dǎo)游，有種選擇．從剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導(dǎo)游，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑵ 只會日語的人中有人出場，有種選擇．還需從多面手中選人做日語導(dǎo)游，有種選擇．剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導(dǎo)游，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑶ 只會日語的人不出場，需從多面手中選人做日語導(dǎo)游，有種選擇．剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導(dǎo)游，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，不同的選擇方法一共有種．【小結(jié)】當“多面手”的數(shù)量較多時，對“多面手”分類討論．問題反倒不簡單了．那么．此時應(yīng)靈活選擇數(shù)量較少的一類元素討論(如本題中的會日語的導(dǎo)游)．做題時要根據(jù)具體問題靈活處理．【答案】⑴ ⑵ ⑶時光流走后，或許才會明白，那些云淡風輕、花開花落早已于不經(jīng)意之間，成為成長乃至生命的一部分。所以這一大類共有（種）。共有或者（種）；第二大類：兩邊都放砝碼。（二）教學(xué)目標；正確區(qū)分排列、組合問題；，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；；，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習，對組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．知識要點一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合． 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；　　第二步：將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個公式就是組合數(shù)公式．二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個公式的直觀意義是：表示從個元素中取出個元素組成一組的所有分組方法．表示從個元素中取出()個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個元素中選出個元素的分組方法恰是從個元素中選個元素剩下的()個元素的分組方法．例如，從人中選人開會的方法和從人中選出人不去開會的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．例題精講模塊一、組合之幾何問題【例 1】 在一個圓周上有個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的：⑴ 直線段；⑵ 三角形；⑶ 四邊形． 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于個點全在圓周上，所以這個點沒有三點共線，故只要在個點中取個點，就可以畫出一條線段；在個點中取個點，就可以畫出一個三角形；在個點中取個點，就可以畫出一個四邊形，三個問題都是組合問題．由組合數(shù)公式：⑴ 可畫出(條)直線段．⑵ 可畫出(個)三角形．⑶ 可畫出(個)四邊形．【答案】⑴ ⑵ ⑶【鞏固】 平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點