【正文】 中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標為（1，）或（1，－4）．【解析】試題分析：（1）在中，令y=0，得到，得到A（－1，0），B（3，0），由直線l經(jīng)過點A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故點D的橫坐標為4，即有，得到，從而得出直線l的函數(shù)表達式；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面積的最大值為，而△ACE的面積的最大值為，所以 ，解得；（3）令，即，解得，得到D（4，5a），因為拋物線的對稱軸為，設P（1，m），然后分兩種情況討論：①若AD是矩形的一條邊，②若AD是矩形的一條對角線．試題解析：（1）∵=，令y=0，得到，∴A（－1，0），B（3，0），∵直線l經(jīng)過點A，∴，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4，∴，∴，∴直線l的函數(shù)表達式為；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝ ＝＝，∴△ACE的面積的最大值為，∵△ACE的面積的最大值為，∴ ，解得；（3）令，即，解得，∴D（4，5a），∵，∴拋物線的對稱軸為，設P（1，m），①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90176。即可求得Q點的坐標． （3）（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1）， ①當AC1在拋物線上時，A1的橫坐標是1； 當OC1在拋物線上時，A1的橫坐標是2；【詳解】解：（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將點A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴，∴，∴y=+x+2；（2）∵點C與點D關于x軸對稱，∴D（0，2）．設直線BD的解析式為y=kx2．∵將（4，0）代入得：4k2=0，∴k=．∴直線BD的解析式為y=x2．當P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（1，0）；當BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，∴2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），①當AC1在拋物線上時，∴，∴，∴A1的橫坐標是1；當OC1在拋物線上時，∴，∴A1的橫坐標是；【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質等；分類討論思想的運用是本題的關鍵．7．函數(shù)的圖象記為，函數(shù)的圖象記為，其中為常數(shù)，與合起來的圖象記為.（Ⅰ）若過點時，求的值；（Ⅱ）若的頂點在直線上，求的值；（Ⅲ）設在上最高點的縱坐標為，當時，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）將點C的坐標代入的解析式即可求出m的值；（Ⅱ）先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)頂點在直線上得出關于m的方程，解之即可（Ⅲ）先求出拋物線的頂點坐標，結合（Ⅱ）拋物線的頂點坐標，和x的取值范圍，分三種情形討論求解即可；【詳解】解：（Ⅰ）將點代入的解析式，解得（Ⅱ）拋物線的頂點坐標為，令，得∵，∴（Ⅲ）∵拋物線的頂點，拋物線的頂點，當時，最高點是拋物線G1的頂點∴，解得當時，G1中（2，2m1）是最高點，2m1∴2m1，解得當時，G2中（4，4m9）是最高點，4m9．∴4m9，解得.綜上所述，即為所求.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、不等式組等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點、交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，.【解析】分析：（1）把已知點坐標代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可； （2）根據(jù)函數(shù)解析式設出點D坐標，過點D作DG⊥x軸，交AE于點F，表示△ADE的面積，運用二次函數(shù)分析最值即可； （3）設出點P坐標，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵．9．在平面直角坐標系中，有兩點、若滿足：當時，；當時，則稱點為點的“友好點”.（1）點的“友好點”的坐標是_______.（2）點是直線上的一點，點是點的“友好點”.①當點與點重合時，求點的坐標.②當點與點不重合時，求線段的長度隨著的增大而減小時，的取值范圍.【答案】（1）；（2）①點的坐標是或；②當或時，的長度隨著的增大而減?。弧窘馕觥俊痉治觥浚?）直接利用“友好點”