勾股定理的證明方法探究-文庫吧資料
2024-11-16 06:03本頁面
【正文】 就提供了二十多種精彩的證法。那么勾股定理是怎么證明的呢？方法很多很多。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。這一證法，看來正確，而且簡單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯誤。所以cosC=0。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設(shè)△ABC中，∠C=90176。它利用了相似三角形的知識。②我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。則△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90176。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明。②比較以上二式，便得a2+b2=c2。下面介紹的是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的證明。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。我國歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：⑴ 全等形的面積相等；⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。容易看出，△ABA’ ≌△AA39。既直觀又簡單，任何人都看得懂。于是a^2+b^2=c^2。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。1．中國方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。勾股定理的證明：在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵危菀孜?，才使它成百次地反?fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。此證明是于歐幾里得《幾何原本》第二篇：勾股定理的證明方法探究《勾股定理的證明方法探究》勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。把這兩個結(jié)果相加，AB^2+ AC^2。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。因?yàn)?A 與 K 和 L是線性對應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD?！螩BD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。從A點(diǎn)劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。,∴G,B,I,J在同一直線上，所以a^2+b^2=c^2【證法4】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形ML
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