函數極限的性質-文庫吧資料
2024-11-11 19:19本頁面
【正文】 個95幾道數列極限的證明題，幫個忙。設x(k+1)x(k)，則x(k+2)x(k+1))=√√(分子有理化)=/【√+√】0。用數學歸納法：①證明{x(n)}單調增加。例4證明證任給（不妨設），為使（9）即，利用對數函數（當時）的嚴格增性，只要于是，令成立，從而證得結論。1例4所得的并按四則運算法則有=例3 求解 當 時有。例2 求。另一方面，當時有，故由迫斂性又可得。解 由第一章167。利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發(fā)計算較復雜的函數極限。證 按假設，對任給的時（7），分別存在正數與，使得當當時有（8）令，則當時，不等式（6）、（7）、（8）式同時成立，故有，由此得，所以。從而。（保不等式性）設 內有，則與都存在，且在某鄰域。對于，對任何，取，則存在）。有這就證明了在內有界。存在，則在某空心鄰域證設。這就證明了極限是唯一的。（唯一性）若極限 證設與、都是當存在，則此極限是唯一的。它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質。2 函數極限的性質在167。1x2x+111+1lim例4證明lima=1(a1) xx174。解 當x+1185。1x+1x+1232。13247。3246。1=limpx174。p4p4x174。4并按四則運算法則有l(wèi)imsinx(xtanx1)=limxlimx174。1例4所得的，cosxsixn=si=limx174。例 2求lim(xtanx1)x174。233。233。233。233。0235。xx=1 x174。1x，故又由迫斂性又可得：lim x234。x234。x0x174。1249。1249。x163。解當x0時有1xx234。0235。x0limf(x)limg(x)． x174。x03）limx174。0，則f|g當x174。x0limf(x)．limg(x)； x174。x02）lim[f(x)g(x)]=x174。x0x174。g(x)]=limf(x)177。g,fg當x174。x0x174。x0(39。h(x)163。x0h(x)163。x0()()f(x)163。內有 x174。B，即(3)式成立．定理3．6(迫斂性)設limf(x)=limg(x)=Ａ，且在某U0x0。g(x)與(4)、(5)兩式同時成立，于是有Aef(x)163。x0得當0xx0d1時有Aef(x)，當0xx0d2 時有g(x)B+e令d=mind39。x0證設limf(x)=A，limg(x)=B，則對任給的e0，分別存在正數d1與d2使x174。limg(x)（３）x174。x0()有f(x)163。d39。d)f(x)Ae=r，這就證得結論．對于A0的情形可類似地證明．注在以后應用局部保號性時，常取r=A．2x174。(0,A)，取e=Ar，則存在d0，使得對一切x206。x0rA)，存在U0(x0)，使得對一切x206。f(xA+1這就證明了f在U0(x0。d)有 x174。x0證設limf(x)=A．取e=1，則存在e0使得對一切x206。f(x)A+f(x)B2e由e的任意性得A=B。x0證設A,B都是f當x174。x0x174。4)limf(x)； 5)lim+x174。165。x172。x174。1中我們引入了下述六種類型的函數極限：1)limf(x) ；2)limf(x)；3)limf(x)x174。 函數極限的性質167。1x2x+1(1)(1)+1lim例4證明lima=1(a1) xx174。解 當x+1185。1x+1x+1232。13247。3246。1=limpx174。p4p4x174。4并按四則運算法則有l(wèi)imsinx(xtanx1)=limxlimx174。1例4所得的，cosxsixn
環(huán)評公示相關推薦
鄂ICP備17016276號-1