【正文】 ，“我認(rèn)識(shí)的字越多，我的知識(shí)就越多”等。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來(lái)討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對(duì)函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識(shí)。關(guān)鍵點(diǎn)1。一直以來(lái)，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。”；第三題是抽象函數(shù)題，與課上的例3類型一樣，讓學(xué)生課后練習(xí)鞏固。關(guān)于作業(yè)布置方面：結(jié)合本節(jié)課的講解內(nèi)容，為進(jìn)一步鞏固教學(xué)成果，在作業(yè)題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內(nèi)容。而第二題則先要判斷單調(diào)性，再進(jìn)行證明，確定了單調(diào)性之后再應(yīng)用到三角形的問(wèn)題中，使學(xué)生在解題的過(guò)程中體會(huì)在一些代數(shù)不等式證明中如何應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的。關(guān)于這部分的課堂小結(jié)：我們可以應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域、解不等式，以及證明一些代數(shù)命題。)是個(gè)增區(qū)間。最終的那個(gè)函數(shù)明顯是個(gè)復(fù)合函數(shù)，函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸是x=2，開(kāi)口向下，在[2,+165。x+50選擇這個(gè)抽象函數(shù)的例子，目的就是讓學(xué)生體會(huì)并掌握怎么樣利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化函數(shù)和自變量的大小關(guān)系。236。關(guān)于例已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+165。讓學(xué)生體會(huì)利用單調(diào)性求值域時(shí)的簡(jiǎn)捷有效。關(guān)于例求函數(shù)y=x21的值域。例題選擇方面：關(guān)于例試判斷函數(shù)f(x)=變式：討論函數(shù)f(x)=x(1x1)的單調(diào)性并證明； x21ax(1x1)的單調(diào)性。形式主要由學(xué)生口答。下面為每部分的具體構(gòu)思。作為教師，我要做好啟發(fā)和規(guī)范地指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生大膽地探索，并培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)。在具體實(shí)施上，將采用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的手段，為了貼切地服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，課件的制作是為了能更好的講練習(xí)題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。其中的教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解。（3）在價(jià)值觀和情感教育方面，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于求索的精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，使其養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度。教學(xué)目標(biāo)：（1）在知識(shí)方面，通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練，使學(xué)生能加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解，進(jìn)一步掌握判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性方法、學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題。研究函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化的思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思維形式，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。它既是在學(xué)生學(xué)過(guò)函數(shù)概念等知識(shí)后的延續(xù)和拓展，又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)各類函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)，而且函數(shù)單調(diào)性在解決函數(shù)變化趨勢(shì)、值域、最值、不等式等許多問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。第一篇：函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)南京師大附中 陶維林一、內(nèi)容和內(nèi)容解析函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量x不斷增大時(shí)，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)．如函數(shù)單調(diào)增表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一特征．與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時(shí)，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個(gè)定義域上不一定具有．這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)．函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法．這就是，加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般．首先借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)．函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用（外部）．可見(jiàn)，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應(yīng)用，因而在數(shù)學(xué)中具有核心地位．教學(xué)的重點(diǎn)是，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上“隨著x增大，y也增大（或減小）”這一特征進(jìn)行抽象的符號(hào)描述：在區(qū)間（a，b）上任意取x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）＝，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增（或單調(diào)減）．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課要求學(xué)生理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的意義，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）．1．能夠以具體的例子說(shuō)明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；2．能夠舉例，并通過(guò)繪制圖形說(shuō)明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；3．對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)，能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù)：在區(qū)間上任意取x1，x2，設(shè)x1＜x2，作差f（x2）－ f（x1），然后判斷這個(gè)差的正、負(fù)，從而證明函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念；進(jìn)入高中以后，又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)．學(xué)生還了解函數(shù)有三種表示方法，特別是可以借助圖象對(duì)函數(shù)特征加以直觀考察．此外，還學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個(gè)簡(jiǎn)單而具體的函數(shù)，了解它們的圖象及性質(zhì)．尤其值得注意的是，學(xué)生有利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行兩個(gè)數(shù)大小比較的經(jīng)驗(yàn)．“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)增的；圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征學(xué)生并不感到困難．困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述．即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（單調(diào)增）進(jìn)行刻畫(huà)．其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1，x2．教學(xué)中，通過(guò)二次函數(shù)這個(gè)具體函數(shù)的圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應(yīng)地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調(diào)增的說(shuō)法．通過(guò)討論、交流，讓學(xué)生嘗試，就一般情況進(jìn)行刻畫(huà)，提出“在某區(qū)間上，如果對(duì)于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”則函數(shù)在該區(qū)間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征．進(jìn)一步給出函數(shù)單調(diào)性的定義．然后通過(guò)辨析、練習(xí)等幫助學(xué)生理解這一概念．企圖在一節(jié)課中完成學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的真正理解可能是不現(xiàn)實(shí)的．在今后，學(xué)生通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決具體問(wèn)題，等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)可以逐步理解這個(gè)概念．四、教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器繪制函數(shù)圖象，同時(shí)輔以坐標(biāo)計(jì)算、跟蹤點(diǎn)以及等手段觀察函數(shù)的數(shù)字變化特征．五、教學(xué)基本流程六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1．用好節(jié)前語(yǔ)，引出課題函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律，因此研究函數(shù)的性質(zhì)十分必要．在事物變化過(guò)程，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)．問(wèn)題1 觀察圖1中各個(gè)函數(shù)的圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？圖1 設(shè)計(jì)意圖：從形到數(shù)，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察，想象相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)．引導(dǎo)單調(diào)函數(shù)的“直觀定義”．可能的回答是，第一個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右是上升的；第二個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右，有時(shí)是上升的有時(shí)是下降的；第三個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右也是有時(shí)上升有時(shí)下降的，而且是關(guān)于y軸對(duì)稱的．師：對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，最基本的就是描述變化的快與慢、增與減??相應(yīng)的，函數(shù)的特征就包含：函數(shù)的增與減，我們把函數(shù)的這種性質(zhì)稱為“單調(diào)性”．教師結(jié)合上述直觀認(rèn)識(shí)，寫(xiě)出課題：函數(shù)的單調(diào)性．2．函數(shù)單調(diào)性的“直觀定義”結(jié)合上述直觀認(rèn)識(shí)，給出單調(diào)函數(shù)的“直觀定義”：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI．在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是上升的，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是下降的，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．例1（教科書(shū)第29頁(yè)例1）圖2是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：用“直觀定義”判斷單調(diào)性，并強(qiáng)調(diào)單調(diào)性的“局部性”．圖2 3．函數(shù)單調(diào)性的“描述性定義”僅從圖象上觀察出函數(shù)的性質(zhì)，只是得到了“定性刻畫(huà)”，對(duì)函數(shù)的變化情況只是“大致了解”，顯然不夠，我們希望“量化”，這樣才能準(zhǔn)確．教師借助幾何畫(huà)板作出函數(shù)y＝x2的圖像，并在函數(shù)y＝x2的圖像上任畫(huà)一點(diǎn)P，測(cè)量出其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，制作表格．拖動(dòng)點(diǎn)P，表格自動(dòng)增行．問(wèn)題2 根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的值，變量y有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)．那么，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的時(shí)候，相應(yīng)的，自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的呢？設(shè)計(jì)意圖：對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的刻畫(huà)，從圖形的刻畫(huà)過(guò)渡到數(shù)量關(guān)系，即從圖形語(yǔ)言的表述過(guò)渡到自然語(yǔ)言的表述．由上面的表格可見(jiàn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)（即函數(shù)值）y的變化規(guī)律：在區(qū)間（－∞，0上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y減少；在區(qū)間0，＋∞）上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大．由此得到單調(diào)函數(shù)的“描述性定義”：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI．在區(qū)間D上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)；在區(qū)間D上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y反而減小，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)．4．從“定性定義”過(guò)渡到“定量定義”雖然完成了對(duì)函數(shù)單調(diào)性的從圖形語(yǔ)言表述到自然語(yǔ)言的表述，但這樣的描述還不是“量化”的，所以，要把定性的數(shù)量變化關(guān)系轉(zhuǎn)化為定量的數(shù)量變化關(guān)系．這是本課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)所在．從上面的結(jié)論，可以看到，函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，那么隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大．問(wèn)題3 如果對(duì)于區(qū)間（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增．這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖）．設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)企圖通過(guò)對(duì)描述性定義的辨析，逐漸引出定量定義．必須是兩個(gè)變化的量的比較．問(wèn)題