【正文】 幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗(yàn)證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗(yàn)證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明就可以了，這就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無限。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價(jià)，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，學(xué)生錯誤的回答主要有兩種：①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因?yàn)楹瘮?shù)． ,所以在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗(yàn)證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點(diǎn)動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．關(guān)鍵點(diǎn)2。第四階段，認(rèn)識提升階段（高中選修系列2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點(diǎn)。第五篇：函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。使課堂教學(xué)由知識型向能力型和實(shí)踐型轉(zhuǎn)化，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。而新課程標(biāo)準(zhǔn)則強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知”、“觀察發(fā)現(xiàn)”……等思維過程來形成思維能力。為此，從引進(jìn)新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學(xué)環(huán)境，揭示概念的本質(zhì)屬性，并用簡單的文字加以表達(dá)，在對概念進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和概念的應(yīng)用，形成一個生動的概念發(fā)生的過程，這一過程需分層次遞進(jìn)，低層次的理解是高層次理解的基礎(chǔ)，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)不應(yīng)簡單地給出定義，而應(yīng)加強(qiáng)概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實(shí)際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會，給學(xué)生充分的思考空間，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展過程，進(jìn)行數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。”由此可以看出，學(xué)生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)造的一種重要形式，創(chuàng)造需要一種實(shí)踐活動的過程。體現(xiàn)能力培養(yǎng)的指導(dǎo)思想概念教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力；有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神；有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。由于時間的關(guān)系，課上討論的并不透徹和完美，但給學(xué)生課后進(jìn)一步的思考、探究留下了空間。函數(shù)的單調(diào)性定義應(yīng)用只設(shè)計(jì)了問題5，典型的反比例函數(shù)，這一過程由學(xué)生來完成，但學(xué)生的證明過程也存在一定問題，老師再次強(qiáng)調(diào)定義，對照解答的層次性，再讓學(xué)生自主訂正，使學(xué)生自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨(dú)立探究問題，在解決問題的過程中進(jìn)行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思、質(zhì)疑，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。這一部分課堂效果非常好。因?yàn)閷W(xué)生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節(jié)課的亮點(diǎn)，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質(zhì)。同時培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)語言代替文字語言的表達(dá)能力，提高對數(shù)學(xué)美的鑒賞力。(2)探索性原則：教師努力使教學(xué)活動富有探索性，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)進(jìn)行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，大膽聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過親身體驗(yàn)獲取新知，把教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生自覺進(jìn)行探索新知的過程，使學(xué)生積極主動地在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)探索的樂趣。在本案例課堂教學(xué)活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學(xué)生，學(xué)生主動參與。（3）概念應(yīng)用階段：函數(shù)的單調(diào)性定義應(yīng)用只設(shè)計(jì)了問題4，這一過程由學(xué)生來完成，使學(xué)生自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨(dú)立探究問題，在解決問題的過程中進(jìn)行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。從而自然導(dǎo)入主題。3．教學(xué)過程設(shè)計(jì)：針對本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)過程分為三個階段：（1）問題引入階段：問題的提出具有實(shí)際意義，引起學(xué)生的興趣，鍛煉學(xué)生的觀察能力，又直逼主題，學(xué)生容易接受。提高對數(shù)學(xué)美的鑒賞能力。2．能力目標(biāo)設(shè)計(jì)：（1）通過對單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展的分析過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、邏輯思維能力。4．課堂小結(jié)（由學(xué)生回答）（略）5．布置作業(yè)（略）三、案例分析（一）本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路 1．知識目標(biāo)設(shè)計(jì)：（1）在探究中，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。3．定義應(yīng)用提出問題4：判斷函數(shù)f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明。③若函數(shù)y=1/x在（∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）也單調(diào)遞減，則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。②已知函數(shù)f(x)=x2(2≤x≤2)。師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關(guān)鍵詞語． 生3：“屬于”