【正文】 膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對(duì)于結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域中的每一點(diǎn) x ，將信號(hào) f 平移 x? ，然后再?gòu)拿看纹揭菩盘?hào)值減去 )(xb ，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。 從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從信號(hào)的下面對(duì)信號(hào)產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤(pán)從內(nèi)部對(duì)二值圖像濾波的情況是相似的。看圖 213，其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在信號(hào)的下面 ―滑動(dòng) ‖時(shí)，其圓心 畫(huà) 出的軌跡。從圖 213 可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個(gè)基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號(hào)的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對(duì)信號(hào)的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果。 圖 213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換 圖 213 描述了這兩種變換。結(jié)構(gòu)元素必須在信號(hào)下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號(hào)定義域的子集。 在 1D 中腐蝕的定義表達(dá)式將簡(jiǎn)化 為如式（ 236）所示的形式。式 （ 232） 與 2D 卷積的形式很類(lèi)似，區(qū)別是這里用 min(極小 )替換了卷 積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。 )}),()(),(|),(),(m i n {),)(( bf DyxDytxsyxbytxsftsbf ????????? 和 （ 235） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。 與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對(duì)偶運(yùn)算來(lái)定義。 在 1D 中膨脹的定義表達(dá)式將簡(jiǎn)化為 如式（ 234）所示的形式。式 （ 233） 與 2D 卷積的形式很類(lèi)似，區(qū)別是這里用 max(極大 )替換了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。 )}),()(),(|),(),(m a x {),)(( DbyxDytxsyxbytxsftsbf f ????????? 和 （ 233） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。 圖 212 信號(hào)的反射 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算 灰度形態(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)對(duì)灰度圖像的自然擴(kuò)展，其中二值形態(tài)學(xué)所用到的交 、并運(yùn)算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學(xué)的相應(yīng)運(yùn)算。 圖 211 信號(hào)的極大極小表示 反射的定義是參照集合在平面內(nèi)相對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)而提出來(lái)的。如果 x 不在 f 和 g 的定義域內(nèi)，即 x 不在 ][][ gDfD ? 之內(nèi)，則gf? 無(wú)定義。如果 x 在 f 的定義域內(nèi)，但在 g 的定義域外， 那么定義 )())(( xfxgf ?? 。 f 和 g 的極小為：如果 x 在定義域的交集 ][][ gDfD ? 中，那么 )}(),(m in {)^( xgxfgf ? （ 230） f 和 g 的極大為：如果 x 在定義域的并集 ][][ gDfD ? ，那么 )}(),(m a x {))(( xgxfxxf ?? （ 231） 信號(hào) f 對(duì)原點(diǎn)的反射記為 )(xf ， 其 定義 如式（ 232）所示。 yzfzyf x ??? )())(( （ 228） 當(dāng)移位和偏移同時(shí)存在時(shí)，稱(chēng)為形態(tài)學(xué)平移，記為 yfx? ， 其定義如式（ 229）所示。 將 信號(hào)，向右水平移動(dòng) x ，稱(chēng)移位， 其 定義 如式（ 227）所示。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ) 灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對(duì)于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。但是對(duì)高分辨率的多值圖像進(jìn)行處理的形態(tài)學(xué)方法不同于二值形態(tài)學(xué)，它是將排序統(tǒng)計(jì)學(xué)與二值形態(tài)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)的多值形態(tài)變換，一般稱(chēng)為灰度形態(tài)學(xué)。值得說(shuō)明的是，與腐蝕和膨脹運(yùn)算不同，開(kāi)、閉運(yùn)算具有冪等性，這意味著一次運(yùn)算與重復(fù)運(yùn)算將得到相同的結(jié)果，這是一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)。 BABBABABBA ????? )(,)( ??? （ 225） 5．平移不等性 如式（ 226）所示。 BAABA ???? （ 222） 3．單調(diào)性 如式（ 223）和式（ 224）所示。 二值圖像開(kāi)閉運(yùn)算性質(zhì) 1．對(duì)偶性 如式（ 221）所示。對(duì)原始二值圖像作閉運(yùn)算的結(jié)果如圖 29(c)所示，采用和開(kāi)運(yùn)算一樣的半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖 (c)看到，細(xì)長(zhǎng)彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。 二值圖像開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖 29 所示， (a)是 一幅原始的二值圖像， (b)是采 理工大學(xué)畢業(yè)論文 10 (a)原圖像 (b)開(kāi)運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算 圖 29 二值圖像開(kāi)閉運(yùn)算仿真結(jié)果 用半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素對(duì)原始圖像作開(kāi)運(yùn)算后得到的結(jié)果。 圖 27 二值圖像開(kāi)運(yùn)算示意圖 使用結(jié)構(gòu) 元素 B 對(duì)集合 A 進(jìn)行閉操作，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 220）所示。為了更好地理解開(kāi)運(yùn)算在圖像處理中的作用， 可以參考式（ 219）所示的 等價(jià)方程： })(|){( ABBBA zz ?? ?? （ 219） 圖 27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開(kāi)運(yùn)算。 二值圖像開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算 使用結(jié)構(gòu)元素 B 對(duì)集合 A 進(jìn)行開(kāi)運(yùn)算，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 218）所示。 xBAxBAxBAxBA ?????????? )()(,)()( （ 216） xBABxAxBABxA ?????????? )()(,)()( （ 217） 平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無(wú)任何改變。 6. 尺度伸縮性 如式（ 215）所示。 CBACBA ????? )()( （ 213） CBACBA ????? )()( （ 214） 式（ 213）和式（ 214） 十分重要， 它們 表明采用一個(gè)較大結(jié)構(gòu)元素 )( CB? 的形態(tài)學(xué)運(yùn)算可以由兩個(gè)采用較小結(jié)構(gòu)元素 B 和 C 的形態(tài)學(xué)運(yùn)算的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 ABBA ??? （ 212） 需要說(shuō)明的是腐蝕運(yùn)算不滿足交換律，即 ABBA ??? 通常不成立。 BAAABABO ?????? , （ 211） 如果結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)， A 腐蝕的結(jié)果是使圖像 A 收縮，是 A 的一個(gè)子集；而 A 是膨脹結(jié)果的子集。 )()()()( BABABABA CCCC ???????? （ 28） 2. 單調(diào)性 如式（ 29）和式（ 210）所示。并且用這樣的結(jié)構(gòu)元素腐蝕后的結(jié)果也是包含于原圖 A 的，即 ABA ?? 。 圖 25 二值圖像腐蝕示意圖 理工大學(xué)畢業(yè)論文 8 圖 26 給出了 腐蝕 運(yùn)算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是 B 腐蝕 A后的結(jié)果，深色的部分就是相對(duì)原圖剩下的部分。 圖 25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖， (a)和 (b)分別給出原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況。 }|{})(|{ AzBzABzBA z ?????? （ 27） A 被 B 腐蝕是所有位移 z 的集合?？梢钥闯龃藭r(shí)膨脹的結(jié)果是包含原圖 A 的，即 BAA ?? 。 圖 23[7]給出了二值圖像膨脹示意圖， (a)和 (b)分別給出結(jié)構(gòu)元素在原點(diǎn)和不在原點(diǎn)的情況。根據(jù)這種解釋?zhuān)€可以寫(xiě) 為如式（ 26）的形式。 })?(|{ 空集??? ABzBA z ? （ 25） 其中 A 稱(chēng)為輸入圖像， B 稱(chēng)為結(jié)構(gòu)元素。以后所有的形態(tài)學(xué)變換都可以由膨脹和腐蝕變換的復(fù)合 運(yùn)算 來(lái)實(shí)現(xiàn) 。 },|{? BbbwwB ???? （ 24） 圖 22 說(shuō)明了這兩個(gè)定義， )(a 是將集合 A 平移到點(diǎn) z ， )(b 是集合 B 對(duì)于原 點(diǎn)的反射。 定義 1： 設(shè)集合 A 及 ),( 21 zzZ? ，將 A 平移到點(diǎn) z ，表示為 zA)( ， 其 定義 如式（ 23）所示。按照 這種 種觀點(diǎn)，函數(shù) C 為 ???? 其他 ，或是均為為或若0 11),(),(1),( yxByxAyxC （ 21） 另一方面，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)， C 的定義 如式（ 22）所示。集合的運(yùn)算可以直接應(yīng)用于二值圖像的集合。集合論中的基本概念包括口 Aa? ， Aa? ， BA? ， BAC ?? ， BAD ?? ， cA ， BA? 。在研究數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理及其應(yīng)用以前，首先要掌握集合論中的一些基本概念。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫(huà)，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺(jué)信息的處理和分析，其基本思想如圖 21 所示?；镜臄?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是將結(jié)構(gòu)元素在圖像范圍內(nèi)平移，同時(shí)施加交、并等基本集合運(yùn)算。 二值圖像形態(tài)學(xué) 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像 看成是集合，并用結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行 ―探測(cè) ‖。用形態(tài)學(xué)算子作為提升算子，用提升方法還可以構(gòu)造出性能更優(yōu)良的非線性小波。 6．形態(tài)小波研究。 5．彩色圖像處理的研究。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 5 4．運(yùn)動(dòng)分析的研究。灰度形態(tài)學(xué)、模糊形態(tài)學(xué)和形態(tài)金字塔等算法運(yùn)算速度慢，不適合實(shí)時(shí)處理。將開(kāi)、閉算子組合起來(lái)可以構(gòu)成性能更優(yōu)越的濾波器。 2．優(yōu)化濾波器設(shè)計(jì)。目前形態(tài)學(xué)研究?jī)?nèi)容主要集中在 [7]： 1．結(jié)構(gòu)元素的設(shè)計(jì)。 二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)構(gòu)成了經(jīng)典的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。結(jié)構(gòu)元素是一個(gè)可以在圖 像 上平移、且尺寸比圖 像 小的集合。可以用來(lái)解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、圖像分割、形狀識(shí)別、紋理分析、圖像恢復(fù)與重建、圖像壓縮等圖像處理問(wèn)題。利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取的圖像骨架也比較連續(xù)，斷點(diǎn)少。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優(yōu)勢(shì)。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新方法 [5]，其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)的形狀，已達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 4 第 2 章 形態(tài)學(xué)基本理論 形態(tài)學(xué)的研究?jī)?nèi)容 形態(tài)學(xué)運(yùn)算是針對(duì)二值圖像，并依據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)集合論方法發(fā)展起來(lái)的圖像處理方法。目前已經(jīng)有很多圖像處理的方法，但是由于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是基于集合論的方法，屬于非線性處理，實(shí)際上相比傳統(tǒng)的多種線性算法更加適合數(shù)字圖像的處理。用于圖像處理的形態(tài)系統(tǒng)， 具有完備的結(jié)構(gòu)和理論體系，是進(jìn)行非線性性態(tài)分析和描述的有力工具。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅提供了描述和分析圖像幾何及形狀特征的多種技術(shù)和方法，同時(shí)它對(duì)于經(jīng)典的信號(hào)處理技術(shù)也產(chǎn)生了極大的影響并擴(kuò)展了原有的技術(shù)。然而，對(duì)于圖像的形態(tài)特征和幾何結(jié)構(gòu)等非線性因素的分析和描述卻由于系統(tǒng)的線性特征而受到限制。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖像及信號(hào)處理技術(shù)越來(lái)越為大眾所需求。目前，有關(guān)形態(tài)學(xué)的技術(shù)和應(yīng)用正在不斷地發(fā)展和擴(kuò)大。這門(mén)學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別，計(jì)算機(jī)顯微圖像分析 (如定量金分析，顆粒分析 )，醫(yī)學(xué)圖像處理，工業(yè)檢測(cè) (如印刷電路自動(dòng)檢測(cè) )，機(jī)器 人視覺(jué)等方面都取得了許多非常成功的應(yīng)用。許多非常成功的理論模型和視覺(jué)檢測(cè)系統(tǒng)都采用了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法作為其理論基礎(chǔ)或組成部分。 形 態(tài)學(xué)的研究目的和意義 近年來(lái)，形態(tài)學(xué)圖像處理 已經(jīng) 發(fā)展成為圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。有人稱(chēng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在基本觀念上卻是簡(jiǎn)單和優(yōu)美的。 深入了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個(gè)方面，如基于擊中擊不中變換的目標(biāo)識(shí)別，基于流域概念的圖像分割，基于腐蝕和開(kāi)運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測(cè)地距離的圖像重構(gòu)，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。形態(tài)和差 (膨脹與腐蝕 )是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)。作為探針的結(jié)構(gòu)元素，可直接攜帶理工大學(xué)畢業(yè)論文 2 知識(shí) (形態(tài)、大小、甚至加入灰度和色度信息 )，來(lái)探測(cè)研究圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。當(dāng)探針在圖像中不斷地移動(dòng)時(shí)，便可以考察圖像各個(gè)部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。形態(tài)學(xué)方法已 經(jīng)迅速成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。 對(duì)于形態(tài)學(xué)興趣的增長(zhǎng)勢(shì)頭，可以從近幾年大量涌現(xiàn)的研究期刊和會(huì)議論文的數(shù)量，以及許多已經(jīng)開(kāi)發(fā)和正在開(kāi)發(fā)的工業(yè)應(yīng)用系統(tǒng)中窺見(jiàn)一斑。 Gasteratos[4]等將模糊集合理論應(yīng)用到軟 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)提出了模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)具有硬數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相似的代數(shù)特性，但具有更強(qiáng)的抗噪聲干擾的能力，對(duì)加性噪聲及微小形狀變化不敏感。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法用排序加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法代替最小、最大法。周煦潼、施鵬飛等在此方面進(jìn)行了較深入的研究。在模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法中，圖像不再看成是硬二值化集合，而是模糊集合 [2]。目前 ， 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、信號(hào)處理與圖像分析、模式識(shí)別、計(jì)算方法與數(shù)據(jù)處理等方面得到了極為廣泛的應(yīng)用。 1982 年出版的專(zhuān)著《 Image Analysis andMathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入。 edge detection 理工大學(xué)畢業(yè)論文 3 目 錄 第 1 章 緒論 ........................................................................................................................................1 形態(tài)學(xué)的研究