【正文】 ? ? ? （ 320） (3) (3)dM Qd? ? （ 321） 基 梁 和 約 束 梁 的 控 制 方 程中，共有 10 個(gè)變量（即 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ), , , , , , , , ,u w N Q M u N Q M? ），通過對(duì)比基梁和約束梁的控制方程組，可知，其中的（ 311）式和（ 317）完全相同，對(duì)比第（ 312）式和第（ 318）式可得： ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ), Q Q Q M M M? ? ? ? （ 322） 由此，真正獨(dú)立的變量有 8 個(gè)，即 ( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ), , , , , , ,u w N Q M u N? 。 (1)xf 、 (1)yf 、(3)xf 、 (3)yf 分別表示作用在基層和約束層中面上各方向的外激勵(lì)力幅值 . PCLD 梁的整合一階常微分矩陣方程 式（ 39）中不僅包含有可以用其他變量表示的剪切力 xy? （式 38），同時(shí)還包含有未知的法向相互作用力 12yp 和 23yp 。 基梁和約束層的中面作用力 在基梁方程（ 33）和約束層方程（ 34）中，中面作用力 (1)xp 、 (1)yp 及 (3)xp 、 (3)yp 包含了外激勵(lì)力和各層之間的相互作用內(nèi)力。 圖 32 層合殼變形協(xié)調(diào)關(guān)系 Shell(1) VEM(2) CL(3) 1h2h3h(1)u(2)u(3)u(1)x?(3)x?(2)x?xy廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 18 粘彈阻尼層的法向平衡方程 對(duì)于粘彈層，根據(jù)前面的假設(shè)，不計(jì)其抗拉、抗彎剛度，記及其方向慣性，忽略面內(nèi)慣性。 同理，約束層的控制方程可寫為： ( 3 ) ( 3 )22( 3 )3( 3 ) ( 3 )3333( 3 ) ( 3 ) 324( 3 )3( 3 ) ( 3 )33330 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 000 0 0 0 1 0xyuuwwLLdpEAEAd NNQ Q LLpEIEIMM????????? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ??? ? ? ?? ????? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???????????????????? （ 34） 粘彈阻尼層的剪切應(yīng)變 由（ (1)u ， w ）和（ (3)u ， w ）分別表示基梁和約束層中面沿 X， Y 兩個(gè)方向的位移幅值。 將上式做無量綱處理，并引入無量綱變量 xL?? ， (1)(1) uu L? ， ww L? ， ??? ，(1)NN EA? ， 2 (1)LEI? ， (1)LMMEI? ，xqq? ?，y yqq?，則上式可寫成矩陣的形式，如下： sdY GY Fd? ?? （ 32） 其中， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ){ , , , , , } TY u w N Q M?? ， 3( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 Ts x yLLF p pEA EI??? ? ?????，系數(shù)矩陣 22111241110 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 0LGEALEI??????????????????? 。 為了簡(jiǎn)化，做如下假設(shè)：（ a）不計(jì) PCLD 梁厚度方向的擠壓線性應(yīng)變，三層材料沿徑向的位移相同；（ b）各層之間粘結(jié)完好沒有滑移，層間位移連續(xù)；（ c）粘彈阻尼層只考慮主要的橫向剪切變形，略去其拉壓和彎曲剛度；（ d）在粘彈阻 尼層中只考慮橫（徑）向振動(dòng)慣量，面內(nèi)慣性忽略不計(jì)。 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 15 第 3 章 被動(dòng)約束層阻尼梁的控制方程 PCLD 梁的控制方程 如下圖所示 PCLD 梁（以矩形截面梁為例）剖面圖， PCLD 梁由彈性基層、粘彈層、約束層三層組成，其厚度分別為 1h 、 2h 、 3h ，橫面積分別為 1A 、 2A 、 3A ，截面慣性矩分別為： 1I 、 2I 、 3I ，基梁長(zhǎng)度為 L 。 傳遞矩陣法的計(jì)算原理和方法實(shí)現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)該法的力學(xué)概念非常清晰、只需通過一系列矩陣相乘， 即可實(shí)現(xiàn)梁與板殼結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的求解。應(yīng)用這種方法求解時(shí)，隨著跨數(shù)的增加，計(jì)算將十分復(fù)雜。有限元是最有效的數(shù)值方法之一，它可以處理各種邊界條件的連續(xù)梁，但是它的缺點(diǎn)是如果要獲得高精度的數(shù)值解，必須將單元細(xì)分，隨之而來的是未知量劇增；需求解大型特征值問題時(shí)，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存和速度要求較高。在結(jié)構(gòu)工程中，常遇到連續(xù)梁的動(dòng)力分析。 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 14 傳遞矩陣法 傳遞矩陣法由于其建模靈活，計(jì)算效率高，無需建立系統(tǒng)的總體動(dòng)力學(xué)方程等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于解決諸如轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的線性鏈?zhǔn)健r(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，并逐步被推廣到彈性結(jié)構(gòu)力學(xué)、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) [11]。呂和祥、裘春航和蔡志勤等在哈密頓體系下，對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的精細(xì)求解方面作了大量 研究。此外很多學(xué)者對(duì)工程領(lǐng)域中精細(xì)積分的應(yīng)用效率以及實(shí)用性也進(jìn)行了 研究 在精細(xì)積分法效率、精度及穩(wěn)定性方面，陳奎孚、張森文等討淪了算法的參數(shù)選擇問題；汪夢(mèng)甫等研究了精細(xì)積分的穩(wěn)定性；趙麗濱、王壽梅等研究了該算法穩(wěn)定性及精度問題，同時(shí)還給出了精細(xì)積分參數(shù)優(yōu)化公式；董聰、丁李粹等揭示了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)精細(xì)算法高效率、高精度的逼近機(jī)理以及誤差界?？梢钥隙?，隨著對(duì)這一方法在計(jì)算精度估計(jì)、計(jì)算效率以及并行計(jì)算技術(shù)等方面的進(jìn)一步研究，它在各個(gè)方面都得到很廣泛的應(yīng)用。該法不僅是相容的、收斂的，同時(shí)還具有很好的穩(wěn)定性、零振幅衰減率、零周期率以及無超越性等優(yōu)良特性，它為結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的高精度計(jì)算開辟了新的途徑，從特性上而言，精細(xì)積分 方法不僅適合頻率密集的大型柔性結(jié)構(gòu)，而且也適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)在突加荷載或沖擊荷載作用下的瞬態(tài)響應(yīng)分析。指數(shù)矩陣 T=exp(A)的計(jì)算精度取決于 )0(T 的計(jì)算精度以及 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 13 矩陣 H 的譜半徑和積分步長(zhǎng) ? 的大小，所以通過選取適當(dāng)?shù)?N(m=2N )和積分步長(zhǎng) ? 的大小， 能夠使計(jì)算結(jié)果達(dá)到很高的精度，甚至達(dá)到計(jì)算機(jī)所能表達(dá)的滿精度。 Ni? 。 鐘氏精細(xì)算法中其要點(diǎn)是利用加法定理，取 Nm 2? ，將矩陣 A 縮小 m1 后，保證用泰勒級(jí)數(shù)展開計(jì)算的可靠性。 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力、優(yōu)化控制等問題中，通過變換都可以將運(yùn)動(dòng)（控制）微分方程寫成狀廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 12 態(tài)向量形式 ????????00.)()()()(VtVtftHVtV (220) 式中， )(tV 為 n 階狀態(tài)向量； H 是 nn? 階常數(shù)矩陣； )(tf 為 n 階載荷向量（或控制微量）。其中有關(guān)矩陣求逆的運(yùn)算， 引起程序?qū)崿F(xiàn)的困難， 特別是求逆過程可能產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定， 甚至逆矩陣不存在， 這是十分不利的。 對(duì)于齊次方程，此時(shí)式 (6)右端的積分項(xiàng)為零，對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，日是常矩陣方程的通解形式為 : 0)exp ()( vtHtv ??? （ 212） 令時(shí)間步長(zhǎng) ??delt ,則 廣 西 工 學(xué) 院 20xx 屆 畢 業(yè) 論 文 11 00)ex p ()( vTvHv ????? ?? （ 213） 由上面的方法精細(xì)地算得 T 矩陣后，時(shí)程積分就變?yōu)椋? ?? , 11201 ??????? kk vTvvTvvTv （ 214） 而對(duì)于非齊次方程，若非齊次項(xiàng) r 在時(shí)間步 ),( 1?kk tt 內(nèi)為線性，即方程為 : kkk v，vttttrrvHv ?????? 時(shí)當(dāng))。對(duì)于 t? 時(shí)間區(qū)段，運(yùn)用 Taylor 展開，有： 0)ex p ( aTItH ???? （ 29） 其中， ? ? ? ? !!32)( 320 LtHtHtHtHT La ????????????? ?！ ，這里的 L 表示 Taylor展開的截?cái)嚯A段。下面將介紹一種變截面自由振動(dòng)的精細(xì)積分法，它將變截面梁沿長(zhǎng)度分割成很多微梁?jiǎn)卧▎卧姆輸?shù)由計(jì)算的精度和截面參數(shù)的變化程度而定），每 個(gè)單元采用上述等截面梁力學(xué)模型，建立一個(gè)一階線性齊次方程，然后采用精細(xì)積分法求解。但按傳統(tǒng)的計(jì)算方法是很繁瑣的：按梁的不同剛度分段分別建立以撓度表示的高階微分方程；考慮段與段連接處內(nèi)力、變形的連續(xù)條件，求出此高階微分方程的通解；再由梁兩端邊界條件，最后求出梁自由振動(dòng)時(shí)各階固有頻率。為提高計(jì)算精度，勢(shì)必要增加分割單元的數(shù)目，則計(jì)算工作量隨之而增加。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將變截面梁看成一系列集中質(zhì)量、無質(zhì)量的梁和支承一個(gè)接著一個(gè)連接而成的系統(tǒng)。新的精細(xì)積分方法只需進(jìn)行指數(shù)矩陣運(yùn)算， 避免了矩陣求逆問題， 無需對(duì)齊次項(xiàng)進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合，這個(gè)積分格式的計(jì)算精度取決于高斯積分點(diǎn)的數(shù)量，從理論上說，這種算法可達(dá)任意高精度。為了解決這個(gè)問題， 提出了增維精細(xì)積分法 [39]，將非齊次項(xiàng)看作狀態(tài)變量，從而將非齊次方程轉(zhuǎn)化為齊次方程，而增加了系統(tǒng)維數(shù)， 增大了矩陣的存儲(chǔ)量，同時(shí)還與載荷的形式有關(guān)。 Lin 等 [38]出了非齊次項(xiàng)為 Fourier 級(jí)數(shù)形式的精細(xì)積分法，稱為 FIS1M—F，其中 F 表示 Fourier。然而當(dāng)它應(yīng)用在非齊次的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)上時(shí)， 算法的精度由矩陣求逆和施加的載荷所決定。 為克服上述問題，鐘萬勰 [37]提出了精細(xì)時(shí)間積分法，這種方法可以達(dá)到任意階的精度。然而這些方法都有缺點(diǎn)，比如這些格式只有一階或二階精度， 因此在高頻段其精度 要變差。這些格式主要基于兩種思想 [36]:第一，時(shí)間離散，不是在任意時(shí)刻去滿足控制方程，而只是在離散時(shí)刻來滿足控制方程；第二，在每個(gè)時(shí)間每隔 t? 內(nèi)，位移、速度和加速度變化基于一定合理的近似。 最后對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。 第 3章基于線彈性理論，通過對(duì)梁的一般模型進(jìn)行分析研究，得出梁的微分平衡方程，通過對(duì)其狀態(tài)向量無量綱化處理，得到梁的一階狀態(tài)向量常微分矩陣方程。主要內(nèi)容有： 第 1章 主要是介紹本文的研究背景及其意義，通過查閱資料，大概總結(jié)了國(guó)內(nèi)外學(xué)者在 PCLD和 CLD梁?jiǎn)栴}及解決問題的數(shù)學(xué)方法本文的研究成果。 本文的研究思路及內(nèi)容 本 文 從 梁 的 基 本 方 程 出 發(fā) ，計(jì) 及 粘 彈 層 剪 切 耗 能 的 影 響 和 層 間 相 互 作 用 ，導(dǎo) 出 了 PCLD 梁 在 最 一般 情 況 下 的 整 合 一 階 常 微 分 矩 陣 方 程 ，方 程 中 的 8個(gè)狀 態(tài) 變 量 包含 了 全 部 獨(dú) 立 的 位 移 變 量 和 內(nèi) 力 變 量 ，可 以 很 方 便 地 直 接 用 于 幾 乎 所 有 的 邊 界 支 承 條 件 和 任 意 間 斷 布 置 P C L D覆 蓋 層 的 問 題 。 運(yùn)用有限元分析的方法研究、計(jì)算粘彈性阻尼 結(jié)構(gòu)的動(dòng)特牲，可以很方便的處理各種結(jié)構(gòu)形式和邊界條件，并利用計(jì)算機(jī)迅速地得到滿足工程精度要求的數(shù)值解，因此在應(yīng)用上有明顯的實(shí)用意義 。 近年來，隨著國(guó)外各類大型結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析計(jì)算程序的研發(fā)應(yīng)用，有限