北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)32導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-文庫吧資料
2024-11-27 04:09本頁面
【正文】 ex在 [ 0,1] 上單調(diào)遞減且滿足 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0. 求 a 的取值范圍． [ 思路分析 ] 先由 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0 得 a ， b ， c 關(guān)系，求得f ( x ) 解析式，利用 f ′ ( x ) 0 求解． [ 規(guī)范解答 ] 由 f ( 0) ＝ 1 ， f ( 1) ＝ 0 ， 得 c ＝ 1 ， a ＋ b ＝－ 1 ， 則 f ( x ) ＝ [ ax2－ ( a ＋ 1) x ＋ 1] ex， f ′ ( x ) ＝ [ ax2＋ ( a － 1) x － a ]ex 依題意需對(duì)任意 x ∈ ( 0, 1) ，有 f ′ ( x ) 0. 當(dāng) a 0 時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù) y ＝ ax2＋ ( a － 1) x － a 的圖像開口向上，而 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， 所以需 f ′ ( 1) ＝ ( a － 1) e 0 ，即 0 a 1. 當(dāng) a ＝ 1 時(shí)，對(duì)任意 x ∈ ( 0,1) 有 f ′ ( x ) ＝ ( x2－ 1) ex0 ， f ( x )符合條件； 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)，對(duì)于任意 x ∈ ( 0,1) ， f ′ ( x ) ＝－ x ex0 ， f ( x ) 符合條件； 當(dāng) a 0 時(shí)，因 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， f ( x ) 不符合條件． 故 a 的取值范圍為 0 ≤ a ≤ 1. [ 方法總結(jié) ] 已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) ，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求解． 已 知 f ( x ) ＝ ex－ ax － 1. 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上單調(diào)遞減，在 [0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增？若存在，求出 a 的值；若不存在，說明理由． [ 解析 ] 方法一：由題意知 ex－ a ≤ 0 在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∴ a ≥ ex在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∵ y ＝ ex在 ( － ∞ ， 0] 上為增函數(shù)． ∴ 當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， ex最大為 1. ∴ a ≥ 1. 同理可知 ex－ a ≥ 0 在 [0 ，＋ ∞ ) 上恒成立， ∴ a ≤ ex在 [0 ，＋ ∞ ) 上恒成立． ∴ a ≤ 1. 綜上可知 a ＝ 1. 方法二：由題意知， x ＝ 0 為 f ( x ) 的極小值點(diǎn)． ∴ f ′ (0) ＝ 0 ，即 e0－ a ＝ 0 ， ∴ a ＝ 1 ，驗(yàn)證 a ＝ 1 符合題意 . 利用導(dǎo)數(shù)研究極值 函數(shù) f ( x ) 為 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) ＝ x ln x . (1) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； (2) 當(dāng) x ≠ 0 時(shí)，求函數(shù) f ( x ) 的極值． [ 思路分析 ] (1) 令 x 0 知－ x 0 ，代入可求． (2) 求 x 0 的極值，由奇函數(shù)性質(zhì)便可求得 x 0 的極值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 設(shè) x 0 ，則－ x 0 ， 則 f ( － x ) ＝－ x ln( － x ) ，又因?yàn)?f ( x ) 為奇函數(shù)， 所以得到 f ( x ) ＝ x ln( － x ) ， 又當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ 0 ， 則 f ( x ) ＝????? x ln x ， x 00 ， x ＝ 0x ln ? － x ? ， x 0. ( 2) 當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) ＝ x ln x ， f ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1. 令 f ′ ( x ) 0 得 0 x 1e， f ′ ( x ) 0 得 x 1e. 列表如下： x (0 ，1e) 1e (1e，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以，當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)的極小值為 f (1e) ＝－1e； 又由于函數(shù)是奇函數(shù)， 所以當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)的極大值為 f ( －1e) ＝1e. [ 方法總結(jié) ] 1. 應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問題 ( 1) 注意極大值與極小值的判斷． ( 2) 已知極值求參數(shù)的值：注意 f ′ ( x0) ＝ 0 是可導(dǎo)函數(shù) y＝ f ( x ) 在 x0
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