32均值不等式(一)學案人教b版必修5-文庫吧資料
2024-11-27 00:36本頁面
【正文】 ________， 而 OD＝ __________， 因為 OD________CD，所以 a＋ b2 ________ ab， 當且僅當 C與 O________， 即 ________時 ， 等號成立 ． 2． 當 a0， b0 時 ， 21a＋1b≤ ab≤ a＋ b2 ≤ a2＋ b22 這是一條重要的均值不等式鏈 ， 請你給出證明 ． 對點講練 知識點一 利用均值不等式比較大小 例 1 已知正數(shù) 0a1,0b1， 且 a≠ b， 則 a＋ b， 2 ab， 2ab， a2＋ b2， 其中最大的一個是 ( ) A． a2＋ b2 B． 2 ab C． 2ab D． a＋ b 總結(jié) (1)大小比較除了用比較法，也可利用已知的不等式 ． (2)本題是選擇題，因此也可以采用賦值法，取特殊值解決 ． 變式訓練 1 設 0ab， 且 a＋ b＝ 1， 在下列四個數(shù)中最大的是 ( ) B． b C． 2ab D． a2＋ b2 知識點二 利用均值不等式證明不等式 例 2 設 a、 b、 c都是正數(shù) ， 求證 ： bca＋ cab＋ abc≥ a＋ b＋ c. 總結(jié) 在利用均值不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或恒等地變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用均值不等式 ． 變式訓練 2 已知 a， b， c為不等正實數(shù) ， 且 abc＝ 1. 求證 ： a＋ b＋ c1a＋ 1b＋ 1c. 知識點三 利用均值不等式解含參數(shù)問題 例 3 abc， n∈ M且 1a－ b＋ 1b－ c≥ na－ c， 求 n的最大值 ． 總結(jié) 解決恒成立問題時，常用分離參數(shù)的方法求出參數(shù)的取值范圍 ． 變式訓練 3 已知不等式 (x＋ y)?? ??1x＋ ay ≥ 9 對任意正實數(shù) x， y恒成立 ， 則正實數(shù) a的最小值為 ( ) A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 1． 設 a， b是兩個正實數(shù)，用 min(a， b)表示 a， b中的較小的數(shù)，用 max(a， b)表示 a，b中的較大的數(shù)，則有 min(a， b)≤ 21a＋1b≤ ab≤ a＋ b2 ≤ a2＋ b22 ≤ max(a， b)． 當且僅當 a＝ b時，取到等號 ． 2． 兩個不等式 a2＋ b2≥ 2ab與 a＋ b2 ≥ ab都是帶有等號的不等式，對于 “ 當且僅當 ? 時，取 ‘ ＝ ’ 號 ”
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