【正文】 Morse 理論的發(fā)展也是互助的。由複分析理論引出黎曼曲面的理論，可以說是近代拓?fù)涞牡谝粔K基石，我們開始研究外微分形式的週期問題，例如dlog可以在C\{0}上定義而且在任何繞零的閉曲線有同樣的週期，這影響了de Rham定理的發(fā)現(xiàn)。從此處可以引出monodromy群對同調(diào)群的作用和整體拓?fù)鋵W(xué)的一個發(fā)展，其實monodromy群可以看作規(guī)範(fàn)場理論的一部分。它在十九世紀(jì)已經(jīng)有很深入的發(fā)展，不過很多自然的複函數(shù)有單值化的問題。微分幾何跟拓?fù)鋵W(xué)的密切關(guān)係可溯源至Euler公式和Poincare天文物理的研究。微分幾何學(xué)家對拓?fù)鋵W(xué)一直都很重視。一般來說，微分幾何從幾個背景來建立我們的理論，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就是最重要的背景。規(guī)範(fàn)場的座標(biāo)沒有選好也可以得出奇異點。人為的奇異點在工程計算往往會出現(xiàn)，而自然的奇異點則從物理方程可以推導(dǎo)出來。我們看到的幾何現(xiàn)象都會有某種奇異點。因為無論從理論上或計算數(shù)學(xué)上，我們都沒有辦法從Einstein方程裏將輻射公式很透徹地瞭解?，F(xiàn)在的觀察儀器差不多可以觀察到重力輻射。例如證明星雲(yún)毀減時，時空會漸近一些基本解，或者在這些解集合裏跳躍，也希望知道這些基本解奇異點的結(jié)構(gòu)。一般物理學(xué)家研究黑洞時，用幾個主要的解來解釋它們的特性，這就是Schwarzschild的解和Kerr的解，可是這兩個解不見得有一般性。當(dāng)初始值光滑時，這兩種奇異點如何產(chǎn)生。在廣義相對論裏，有兩個重要的奇異點：一個就是黑洞，一個就是裸的奇異點(naked singularity)。當(dāng)Cauchy problem 的初始值是光滑的時候，時間向前走，我們要問奇異點是怎樣產(chǎn)生的。我們對它的瞭解極為薄弱。假如我們脫離了Einstein方程，得出來的結(jié)論只不過是一個抽象的架構(gòu)，不能夠說符合廣義相對論的要求。廣義相對論的進(jìn)步，要依靠我們對微分方程的瞭解。我們知道奇異點是在時空的邊界上，跟我們現(xiàn)在所看到的Minkowski時空是不同的。研究一般性的奇異點，無論在物理上、微分方程上或者幾何上，都是基本的問題，這些研究正在萌芽，可是對於真正瞭解它們還是相差很遠(yuǎn)?；旧系姆椒ㄟ€是變成多項式的情形來解決。另一方面Mather 和Arnold等好幾個數(shù)學(xué)家考慮了所謂平滑奇異點(smooth singularity)的問題；不一定由多項式定義，而是由平滑函數(shù)（smooth function）定義。因為代數(shù)流型是用一組多項式定義的，流型本身可以定義奇異點。這幾十年來數(shù)學(xué)家研究奇異點，在代數(shù)幾何方面有很長遠(yuǎn)的進(jìn)步。古典的Einstein方程是一個很漂亮的方程，產(chǎn)生了很多重要而有意義的幾何現(xiàn)象。未來半個世紀(jì)，幾何學(xué)家會解決從古典廣義相對論裏面出現(xiàn)的問題，物理學(xué)家大概發(fā)覺這方面的數(shù)學(xué)問題有相當(dāng)?shù)睦щy性，所以不大願意做古典廣義相對論的理論問題。以後物理學(xué)家引進(jìn)超引力的觀念，簡化了上述問題的證明，反過來對幾何學(xué)有很大的幫助。所以這是一個互補(bǔ)的情形，有些命題在我們來說幾乎是不可能對的，物理學(xué)家卻極力堅持，認(rèn)為物理的直觀會遇到挑戰(zhàn)，所以我們願意花很大的功夫去瞭解它。事實上，當(dāng)我們將這個問題全部解決了以後，一個很有名的幾何學(xué)家還堅持這不可能是對的，可以見到古典幾何的直覺有一定的規(guī)限。因此我們對它有很濃厚的興趣。十多年前，我跟一個朋友做一個廣義相對論上的題目，這是一個好幾十年的老問題。在黎曼幾何本身，我們當(dāng)然能夠找到有意義和漂亮的問題，可是有一些觀念，幾何學(xué)家沒法單憑幾何直覺得出。到數(shù)學(xué)家跟他合作以後，他才推導(dǎo)出正確的方程，對黎曼幾何來說，這是一個很大的鼓舞，抽象的想法竟然得到物理學(xué)上的重要應(yīng)用。黎曼幾何在Einstein的廣義相對論上有很大的貢獻(xiàn)。他們發(fā)現(xiàn)很多歐氏空間上能夠做的事情，都有辦法在黎曼流形上面做，微分和積分的觀念全部可以推導(dǎo)到流形上去，到了十九世紀(jì)末葉他們已經(jīng)將微分幾何推廣到抽象而完美的狀態(tài)，當(dāng)時的推導(dǎo)是基於公式的簡潔和優(yōu)美。一直到十九世紀(jì)後期，微分度量幾何的發(fā)展跟理論物理關(guān)係並不大。當(dāng)時黎曼創(chuàng)做這個理論，基本上是好奇。黎曼根據(jù)Gauss的發(fā)現(xiàn)，發(fā)覺我們可以推導(dǎo)一個全部本質(zhì)的幾何學(xué)（intrinsic geometry）。這是因為我們已經(jīng)將Gauss的想法全部吸收而融會貫通的緣故。事實上，用不適當(dāng)?shù)淖鶚?biāo)表達(dá)的時候，微分幾何的公式可以變成很複雜，但這也是微分幾何漂亮的地方，往往在選取好的座標(biāo)時可以得到很簡單的公式。是Gauss經(jīng)過很複雜的微積分計算，發(fā)現(xiàn)出來的公式，他發(fā)現(xiàn)曲率只跟本質(zhì)計量有關(guān)。Gauss自己也認(rèn)為這是一個很重要的發(fā)現(xiàn)。例如圓形柱中間切一條線以後，張開來變成一個長方形。Gauss重要的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)Gauss曲率只跟曲面的本質(zhì)計量（intrinsic metric）有關(guān)。自微積分被創(chuàng)立以後，我們就知道怎麼處理二維的曲面， Euler等很多重要的數(shù)學(xué)家在這方面有很大的貢獻(xiàn)。到了十九世紀(jì)，Gauss卻有一個很重要的發(fā)現(xiàn)，把牛頓以後的微分幾何帶進(jìn)一個新的紀(jì)元。只要這個理論漂亮而同時能夠解釋很多幾何上的現(xiàn)象的話，他一定有存在的意義，這是我們做數(shù)學(xué)的人相信的。我剛才強(qiáng)調(diào)從物理得來的幾何觀念，可是我們也應(yīng)當(dāng)知道幾何或數(shù)學(xué)本身有他生存和美的意義，也有生存和美的價值。這是一個很重要的交匯，數(shù)學(xué)家自以為很漂亮的工具，往往不能夠解決任何問題。這是因為幾何學(xué)家對現(xiàn)代物理的觀念搞得不清楚，而無窮維的幾何往往不是古典的直觀可以得到的。我想這個發(fā)展會繼續(xù)下去，二十一世紀(jì)的上半葉，無窮維空間的幾何要不斷地受到量子場論的影響。因此，我們要追究物理學(xué)家在量子場論的直觀是怎樣訓(xùn)練出來的，我們幾何學(xué)家缺乏這方面的訓(xùn)練。我為什麼要講這個問題呢？因為無窮維空間在物理上有許多直觀的想法，從數(shù)學(xué)的觀點來看，幾乎是不可能接受的。雖然最後的證明跟路徑積分的想法無關(guān)，但是得到這個公式的過程有很大的意義，因為在量子場論找到這個公式以前，數(shù)學(xué)家連怎樣找這個公式都不知道?？墒沁@種檢驗不是公式的證明，從量子場論得來的結(jié)果一般來說不能當(dāng)作定理。這個鏡對稱理論是十年前我的一個博士後研究員和在德州的一個教授跟他們的同事們建立的。數(shù)學(xué)家沒有辦法解答這個問題，連猜測都沒有辦法做。可是我們可以問階數(shù)等於一的時候有多少個解，等於二時有多少個解。這是一個很古典的問題，跟Fermat問題很相似?，F(xiàn)在舉一個例子，這是一個很深奧而古典的問題，已經(jīng)有一百多年的歷史：一個五次方程，它有五個變數(shù)，這是中學(xué)生都看得懂的方程。這十五年來，自從弦理論產(chǎn)生以後，我們驚訝地發(fā)覺從物理直覺產(chǎn)生的幾何結(jié)論往往是正確的。在有限維空間時，由物理學(xué)引起的幾何，我們大致上都可以理解和證明。因為物理學(xué)家願意接受直觀的證明的觀念，而數(shù)學(xué)家難以接受。用Renormalization的方法，出現(xiàn)很多無窮的cancellation問題。一個重要例子是loop space，這是將給定的流形上的所有封閉曲線放在一起的空間，我們要尋求在它上面的譜分析，這是一個很困難的問題。在這方面，弦理論已經(jīng)得到相當(dāng)大的進(jìn)步。從古典力學(xué)到量子力學(xué)，更