高二數(shù)學(xué)充分條件和必要條件-文庫吧資料
2024-11-20 17:28本頁面
【正文】 證明：關(guān)于 x的一元二次不等式 x2＋ px＋q≤ 0的解集只有一個(gè)元素的充要條件是 p2＝ 4q. 【 思路點(diǎn)撥 】 證明充要條件問題 ， 必須分清條件與結(jié)論 ． 由 “ 條件 ” ?“ 結(jié)論 ” ， 是證明命題的充分性；由 “ 結(jié)論 ” ?“ 條件 ” ， 是證明命題的必要性 ． 【證明】 命題中的條件為 p2＝ 4 q . 必要性：解不等式 x2＋ px ＋ q ≤ 0. 若 Δ ＝ p2－ 4 q 0 ，則 不等式的解集為??? x ?????－ p － Δ2≤ x ≤－ p ＋ Δ2， 不合題意 ． 若 Δ 0 ，則 x2＋ px ＋ q 恒大于 0 ， 原不等式的解集為空集，不合題意 ． 所以，不等式 x2＋ px ＋ q ≤ 0 的解集中只含有一個(gè)元素時(shí)， Δ ＝ p2－ 4 q ＝ 0 ，即 p2＝ 4 q . 充分性： ∵ p2＝ 4 q ， ∴ x2＋ px ＋ q ＝ x2＋ px ＋p24＝????x ＋p22≤ 0 ， ∴ x ＋p2＝ 0 ，即 x ＝－p2. 即原不等式的解集只有一個(gè)元素－p2. 綜上可得： x2＋ px ＋ q ≤ 0 的解集只有一個(gè)元素的充要條件是 p2＝ 4 q . 【 名師點(diǎn)評 】 (1)在證明充要條件問題時(shí) ， 通常從“ 充分性 ” 和 “ 必要性 ” 兩個(gè)方面來證明 ． 在證明時(shí) ， 要注意題目給出的格式 ， 若證明 “ p的充要條件是 q” ， 那么 “ 充分性 ” 是 q?p， “ 必要性 ” 就是p? “ p是 q的充要條件 ” ， 則與之相反 ． (2)證明充要條件問題 ， 其實(shí)質(zhì)就是證明一個(gè)命題的原命題和其逆命題都成立 ， 若直接證明不易證明 ，可根據(jù)命題之間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 ， 然后再加以證明 ． 自我挑戰(zhàn) 2 求證：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一正根和一負(fù)根的充要條件是 ac0. 證明： 充分性： ( 由 ac 0 推證方程有一正根和一負(fù)根 ) ∵ ac 0 ， ∴ 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的判別式 Δ ＝ b2－ 4 ac 0 ，
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