【正文】 *7 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 空模型處理 練習(xí)題 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 510C 回目錄 例 期中安排考試科目 9門 ,語文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ? 解 不加任何限制條件 ,整個排法有 種 ,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考 ” ,與 “ 數(shù)學(xué)安排在語文之前考 ” 的排法是相等的 ,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種 . 99P9921P結(jié)論 對等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對等的 ,各占全體的二分之一 .在求解中只要求出全體 ,就可以得到所求 . 分析 對于任何一個排列問題 ,就其中的兩個元素來講的話 ,他們的排列順序只有兩種情況 ,并且在整個排列中 ,他們出現(xiàn)的機會是均等的 ,因此要求其中的某一種情況 ,能夠得到全體 ,那么問題就可以解決了 .并且也避免了問題的復(fù)雜性 . 回目錄 分房問題 又名：住店法， 重排問題求冪策略 住店法 解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 3名女生 高矮互不等， 將 7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？ 順序固定問題用“除法” 對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù) . 所以共有 種。 473377 AAA ?分析：先在 7個位置上作全排列，有 種排法。 “ 插空 ” 有同時“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 定序問題倍縮空位插入策略 定序問題 例 6 有 4名男生， 3名女生。遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８ 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰， ３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰， 這樣的八位數(shù)共有 ___________個．（用數(shù)字作答） 將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列 有 種，再將７、８插入 4個空位中的兩個 有 種，故有 種． 482333 ??A1224 ?A 5 7 61248 ??引申 :用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字 的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６ 相鄰，現(xiàn)將 8 插進去，仍要求１與２相鄰，３與４ 相鄰，５與６相鄰，那么插法共有 ___________種． （用數(shù)字作答） 回目錄 “相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空” 例 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種 960種 （ B） 840種 （ C） 720種 （ D） 600種 解： 2422 4 5 960AAA? ? ?另解： 2 5 12 5 4 960A A A? ? ?回目錄 練習(xí) 某城新建的一條道路上有 12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （ A） 種（ B） 種 （ C） 種 （ D） 種 38C 38A 39C 311C解： 38C回目錄 例 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。 44A35A 3544 AA回目錄 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 30 練習(xí)題 回目錄 （ 1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？ （ 2） 三個男生，四個女生排成一排， 男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？ 捆綁法： 443322 AAA ??4433 AA ?插空法： （ 3） (2022 要求某幾個元素必須排在一起的問題 ,可以用 捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并 為一個元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時 要注意合并元素內(nèi)部也必須排列 . 回目錄 例 5個男生 3個女生排成一排 ,3個女生要排在一起 ,有多少種不同的排法 ? 33P66P3366 PP解 因為女生要排在一起 ,所以可以將 3個女生看成是一個人 ,與 5個男生作全排列 ,有 種排法 ,其中女生內(nèi)部也有 種排法 ,根據(jù)乘法原理 ,共有 種不同的排法 . 結(jié)論 捆綁法 :要求某幾個元素必須排在一起的問題 ,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并為一個元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列 . 分析 此題涉及到的是排隊問題 ,對于女生有特殊的限制 ,因此 ,女生是特殊元素 ,并且要求她們要相鄰 ,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題 . 回目錄 某人射擊 8槍，命中 4槍， 4槍命中恰好有 3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ） 練習(xí)題 20 回目錄 有 8本互不相同的書 ,其中數(shù)學(xué)書 3本 ,外文書 2本 ,其他書 3本 .若將這些書排成一列放在書架上 ,則數(shù)學(xué)書恰好排在一起 ,外文書也恰好排在一起的排法共有 _____ 種 (結(jié)果用數(shù) 值表示 ). 回目錄 不相鄰問題插空策略 例 4個舞蹈 ,2個相聲 ,3個 獨唱 ,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 ,則節(jié)目的出 場順序有多少種 ？ 解 :分兩步進行第一步排 2個相聲和 3個獨唱共 有 種， 55A第二步將 4舞蹈插入第一步排 好的 6個元素中間包含首尾兩個空位共有 種 不同的方法 46A由分步計數(shù)原理 ,節(jié)目的 不同順序共有 種 55A 46A相 相 獨 獨 獨 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 回目錄 不相鄰問題 ——插空法 對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。 排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn) “ 重 ” 、 “ 漏 ”現(xiàn)象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。理 )在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有 _____________個． 1444AA1244PP?1 1 24 3 4PPP??1244PP? 1 1 24 3 4PPP?? 解：不能被 5整除的有兩種情況：情況 首位為 5有 種，情況 首位不是 5的有 種，故在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中， 不能被５整除的數(shù)共有 + =192(個 )． 192 小結(jié)： “ 在 ” 與 “ 不在 ” 可以相互轉(zhuǎn)化。 （ 4） (2022 北京 例 2 用 0， 1， 2， 3， 4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字 的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因為 0不能排首位，故 0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。 情況三 ： 甲、乙兩人都去游覽 ,有 種選擇方案 , 綜上不同的選擇方案共有 + + =240 1 1 3 32 3 4 3C C C P2 2 1 32 4 3 3C C C P44P1 1 3 32 3 4 3C C C P 2 2 1 32 4 3 3C C C P44P（間接法） 個）(2 4 0353546 ??? AAA回目錄 4名男生和 3名女生中選出 4人參加某個座 談會，若這 4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 _______ 34 練習(xí)題 2. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1號船最多乘 3人 , 2 號船最多乘 2人 ,3號船只能乘 1人 ,他們?nèi)芜x 2只船或 3只船 ,但小孩不能單獨乘一只船 , 這 3人共有多少乘船方法 . 27 回目錄 特殊元素和特殊位置問題 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 例 0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù) . 解 :由于末位和首位有特殊要求 ,應(yīng)該優(yōu)先安 排 ,以免不合要求的元素占了這兩個位置 先排末位共有 ___ 然后排首位共有 ___ 最后排其它位置共有 ___ 13C13C14C14C34A34A由分步計數(shù)原理得 =288 13C14C34A位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析為主 ,需先安排特殊元素 ,再處理其它元素 .若以位置分析為主 ,需先滿足特殊位置的要求 ,再處理其它位置。福建 分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的 始終。 以只會唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研究 只會唱 的 5人中沒有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計數(shù) 原理共有 ______________________種。全國 .(1008)(2 44141455 種）???? AAAA 回目錄 把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例 1 如圖，某電子器件是由三個電 阻組成的回路 ,其中有 6個焊接 點 A， B， C， D， E， F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通。 解法 1 分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計數(shù)原理，不同的站法共有 例 1 6個同學(xué)和 2個老師排成一排照相， 2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾上，則剩下的 5人可自由安排，有 種方法 . 55A2) 若甲在第 7位，則 排尾的排法有 種， 1位的排法有