【正文】 ??????????先考察 3階線性定常差分方程 選擇狀態(tài)變量 )()()( 01 kukykx ???)()1()()1()1()( 11102 kukxkukukykx ??? ????????)()1()2()2()( 2103 kukukukykx ??? ???????)()1( 22 kukx ????待定系數(shù)為： 30 b??0221 ?? ab ??120222 ??? aab ???22110003 ???? aaab ????)()()()(100010)1()1()1(321321210321kukxkxkxaaakxkxkx???????????????????????????????????????????????????系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()()1( kukk HGxx ???即： 輸出方程為 ? ? )()()()(001)( 0321kukxkxkxky ?????????????即： )()()( kdukky ?? Cx多輸入 多輸出線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 )()()()()1( kkkkk uHxGx ???)()()()()( kkkkky uDxC ??)(kG )(kH )(kC )(kD當 、 、 和 的諸元素與時刻 無關(guān)時，即得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 k)()()1( kkk HuGxx ???)()()( kkky DuCx ?? 脈沖傳遞函數(shù)（矩陣） 對線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式進行 z 變換 )()()0()( zzzzz HuGxxx ???)0()()(][ xHuxGI zzzz ???如果 存在，則 1]GI[ ??z)0(x]GI[)(Hu]GI[)( 11 zzzzzx ?? ????其中， 為系統(tǒng)狀態(tài)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 如果初始松弛，則 )(u)(G)(Hu]GI[)(x xu1 zzzzz ??? ?H]GI[)(G 1xu ??? zz)()()(}][{)()()( 1 zzzzzzz uGuDHGICDuCxy yu?????? ?系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 DHGICG yu ??? ? 1][)( zz例 19 已知線性定常離散系統(tǒng)方程為 )(10)( 10)1( kukk ????????????????? xx )(1011)( kk xy???????求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣 解 ??????????????????????? ??1011011][)( 11zzzz HGICGyu??????????????????))(())((1zzzzzz對于 SISO線性定常離散系統(tǒng) )()()1( kukk hGxx ??????)()()( kdukky ?? Cx系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 dzzg yu ??? ? hGIC 1][)( 線性變換 我們知道，系統(tǒng)確定后，狀態(tài)變量的個數(shù)是確定的，但狀態(tài)變量的選取是非唯一的。且一般有 m≤n。 4）傳遞函數(shù)一般僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。 2）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時變系統(tǒng)中應(yīng)用。例如微分器 為非正則系統(tǒng)，假如輸入信號帶有高頻污染 經(jīng)過微分器輸出 ssg ?)(tttu 10 00c os)( ??tttudtdty 1 0 0 0s in10s in)()( ????可見，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號幅值的 10倍，信噪比變得很小。若 ，則稱 是嚴格正則的。 )(sgij )(syi)(suj例 17 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 uxx??????????????????????????100100211340010? xy ???????100001求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。 傳遞函數(shù) 單入 單出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 uyudCxBAxx?????在初始松弛時，求 Laplace變換，并且化簡 狀態(tài)變量對輸入量的傳遞函數(shù) ? ? ? ?? ? bAI AIbAIG ????? ? ssssxu d etad j)( 1輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)） ? ? ? ?? ? dbAI AICdbAIC ??????? ? ssssg yu d etad j)( 1例 15 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 u???????????????? 105610 xx? ? ?x11?y求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn??????????????? ??????例 14 已知描述系統(tǒng)的微分方程為 uuyyyy 64 016 064 019 218 ????? ???????試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。通過選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達式。 在水平方向，應(yīng)用牛頓第二定律： ulytmt yM ??? )s in(dddd 2222?對擺球來說，在垂直于擺桿方向，應(yīng)用牛頓第二定律： ?? s in)s in(dd 22mglytm ??而有： ??? ??? )( c o s)( s indd t????? ??? ????? co s)s in()( s indd 222t??? ???? )s in()( c o sdd t????? ??? ?????? )s in()co s()( co sdd 222t1cos ??線性化：當 和 較小時 ，有 ? ?? ?? ?sin 02 ???? ?化簡后，得 umlymM ??? ?????)(?? mgmlym ?? ????求解得： uMMmgy 1??? ??? uMlMl gmM 1)( ??? ?? ??選擇狀態(tài)變量 ， ， ， 為系統(tǒng)輸入， 為系統(tǒng)輸出 yx ?1 yxx ?? ?? 12 ??3x ??? ?? 34 xxu y。 Di ?Du ?? ? ????????Diy 10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi?????????????????????????????????????????01??狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)圖如下： 例 13 建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 ?????),(),(ttux,gyux,fx??????)()(ux,gyux,fx? 狀態(tài)變量的選取 （ 1） 狀態(tài)變量的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定 （ 2）狀態(tài)變量選取的非惟一性 （ 3）系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的 在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變量 則其狀態(tài)方程為 Cux ?1 Cuxx ?? ?? 12uLCxxLRLCxx???????????????????????????????? 101 102121??輸出方程為： ? ? ???????2101xxy 狀態(tài)空間表達式建立的舉例 例 11 建立右圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（注：質(zhì)量塊 m 的重量已經(jīng)和彈簧 k 的初始拉伸相抵消） 根據(jù)牛頓第二定律 22dtydmdtdyfkyFF ?????即： Fkydtdyfdt ydm ???22選擇狀態(tài)變量 yx ?1 12 xyx ?? ??21 xx ??則： FmxmfxmkFmdtdymfymkx 11 212 ?????????機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為 Fmxxmfmkxx???????????????????????????????? 10102121??? ? ???????2101xxy該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下 例 12 建立電樞控制直流他勵電動機的狀態(tài)空間表達式 電樞回路的電壓方程為 DeDDDD uKiRdtdiL ??? ?系統(tǒng)運動方程式為 dtdJfiKDDm?? ??（式中， 為電動勢常數(shù)； 為轉(zhuǎn)矩常數(shù)； 為折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量； 為折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。可以用下面的狀態(tài)方程和輸出方程表示。 如果這些元素中有些是時間 t 的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，或稱為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。 如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)系輸出量和狀態(tài)變量關(guān)系的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。 例 ：如下圖所示電路， 為輸入量， 為輸出量。 狀態(tài)變量 —— 確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時刻 的值以及 的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時刻 的狀態(tài)。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第 1章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 本課程的任務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來進行的。 本章內(nèi)容為：