控制系統(tǒng)的數學模型(2)-文庫吧資料
2025-01-20 10:57本頁面
【正文】 工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： ② 彈簧： 彈簧各點受力相同 ， 但各點的變形量不同 。 列寫其微分方程通常用達朗貝爾原理 。 系統(tǒng)微分方程的建立 上海大學 機電工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： 機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動兩種 。 3) 將所有方程聯(lián)解 ， 消去中間變量 ， 得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程 。 將非線性方程在點 （ x0, y0, z0） 處展開成泰勒級數 ， 并忽略其高階項 ， 則有 例 題 上海大學 機電工程與自動化學院 因此，線性化方程式為： 例 題 )()( 02022 yykxxkzz ?????110100??????? yxzkyyxx 60200??????? xyzkyyxx)11(6)6(1166 ??????? yxz66611 ??? yxz 當 x=5， y=10 時， z 的精確值為： z＝ xy =5 10=50 由線性化方程求得的 z值為 z=11x+6y66=55+6066=49 因此，誤差為 5049=1，表示成百分數為 %2501 ?上海大學 機電工程與自動化學院 系統(tǒng)微分方程的建立 建立微分方程的步驟 是： 1) 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系 ， 確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量； 2) 從輸入端入手 （ 閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手 ） ， 依據各元件所遵循的物理 、 化學 、 生物等規(guī)律 ， 列寫各自方程式 ，但要注意負載效應 。 于是 z0=x0y0=6 11=66。 求用線性化方程來計算當 x=5， y=10 時 z 值所產生的誤差 。 (4) 線性化后的微分方程是以增量為基礎的增量方程。因此非線性系統(tǒng)線性化是有條件的：變量偏離預定工作點很小 。 在預定工作點處一個小范圍內 ， 將非線性特性用一斷直線來代替 。 系統(tǒng)正常工作時，通常都有一個預定工作點，即系統(tǒng)處于某一平衡位置，對于自動調節(jié)系統(tǒng)或隨動系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的工作狀態(tài)稍一偏離此平衡位置，整個系統(tǒng)就會立即作出反應，并力圖恢復原來的平衡位置。 本質非線性性質 ：在工作點附近存在著不連續(xù)直線、跳躍、折線，以及非單值關系等嚴重非線性性質的元件或系統(tǒng)。 （ 摩擦力隨速度的增加而增加 ） 上海大學 機電工程與自動化學院 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化 工程上 ，絕對的線性元件和線性系統(tǒng)是不存在的； 數學上 ，非線性微分方程的求解困難，目前只能采用數值解法，但也存在較大的數值誤差。 干摩擦力 f o F dx dt 上海大學 機電工程與自動化學院 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 摩擦力 ： 實際運動副中的摩擦力與運動速度的大小有關 ， 如右圖 。 右圖為 干摩擦力 （ 也稱庫倫摩擦力 ， 其大小為 f ） 與運動速度 dx/dt 的關系 。 傳動間隙 Δ o xi xo 死區(qū) xi dxo dt o 死區(qū) ： 在死區(qū)范圍內 ， 系統(tǒng)有輸入而沒有輸出 。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 飽和非線性 死區(qū)非線性 平方律非線性 各種非線性因素的特性曲線 上海大學 機電工程與自動化學院 (2) 非線性系統(tǒng) 是否線性元件的判別 ：元件的 輸出與輸入間關系 為 一次冪函數 線性元件 二次或高次冪函數 、 周期函數或超越函數 非線性元件 判別系統(tǒng)數學模型微分方程是否非線性 ： 其中的函數出現高于一次的項 ， 或者函數導數項的系數是輸出量的函數 。 例如：在大輸入信號作用下 ， 元件的輸出量可能飽和 (即飽和非線性 )；在小信號輸入下 ， 元件沒有輸出量 (即死區(qū)非線性 )；某些元件中可能存在著平方非線性關系 。 因此 ， 研究機械系統(tǒng)的某些動態(tài)特性時 ， 必須考慮系統(tǒng)中的非線性特征 。 系統(tǒng)中只要含有一個非線性性質的元件 ， 就成為一個非線性系統(tǒng) 。 非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述 。 ?齊次性： 指當輸入信號乘以某常數時 ， 響應也倍乘相同的常數 。 線性系統(tǒng)的 線性性質 是指系統(tǒng)滿足 疊加性 和 齊次性 。 線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述 。 對于比較 復雜的系統(tǒng) ，需要通過理論分析與實驗研究結合起來，才能獲得適用的數學模型。 實驗研究法 根據系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其它實驗數據建立數學模型。 控制系統(tǒng)的數學模型 上海大學 機電工程與自動化學院 建立控制系統(tǒng)數學模型的方法 物理系統(tǒng)往往比較復雜，因而必須作一些理想化的假設，獲得簡化的數學模型。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。 對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數學模型不是唯一的。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關。 控制系統(tǒng)的數學
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