【正文】 一個周期，不斷循環(huán)。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這五個數(shù)之和最大是多少？——9九個數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和。練習(xí)5：，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的積都相等。因此這6個質(zhì)數(shù)的積是223355=900。因?yàn)橹虚g的小三角形頂點(diǎn)處的數(shù)在求和時都用了三次，所以，四個小三角形頂點(diǎn)處數(shù)的總和是4X=20＋2X，解方程得X=10。如果在這些圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。——8這八個數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外圓四個數(shù)的和，內(nèi)圓四個數(shù)的和以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18。練習(xí)4：——9填入下圖的○中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。當(dāng)a=1時，（28＋21）247。由于28247?！纠}4】 將1——7分別填入下圖的7個○內(nèi)，使每條線段上三個○內(nèi)數(shù)的和相等?！?九個數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使每邊上四個○內(nèi)數(shù)的和都是17。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）247。3=7沒有余數(shù)，那么a＋b＋c的和除以3也應(yīng)該沒有余數(shù)。因?yàn)橛嬎闳龡l線上的和時，a、b、c都被計算了兩次，根據(jù)題意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3沒有余數(shù)。【例題3】 將1——6這六個數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)的和相等、且最大?！?0這十個數(shù)分別填入下圖的○內(nèi)，使每個四邊形頂點(diǎn)的○內(nèi)四個數(shù)的和都相等，且和最大。當(dāng)a和b是1和4時，每個大圓上另外四個數(shù)分別是（，8，9）和（，7，10）；當(dāng)a和b是2和3時，每個大圓上另外四個數(shù)分別為（，9，10）和（4，6，7，8）?！舅悸穼?dǎo)航】設(shè)中間兩個圓中的數(shù)為a、b，則兩個大圓的總和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30＋a＋b=60，a＋b=5?！?七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等。練習(xí)1：——10各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。把兩式相比較可知，E=42－35=7，即中間填7。二、精講精練【例題1】 把9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里，如圖a使橫行三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21。試驗(yàn)法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗(yàn)法。 陣一、知識要點(diǎn)填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來的數(shù)陣問題，也是一類比較常見的填數(shù)問題。媽媽一共帶了多少錢？，已知師傅6小時加工的零件和徒弟8小時加工的零件相等。已知快車每小時比慢車多行25千米。（10－8）=12（個），這批零件一共有1210=120（個）。已知甲每小時比乙少做3個零件，這批零件一共有多少個？【思路導(dǎo)航】因?yàn)榧酌啃r比乙少做3個零件，8小時就比乙少做38=24（個）零件，所以，24個零件就是甲（10－8）小時的工作量。一次，二人同時生產(chǎn)同樣多的零件，結(jié)果甲比乙提前5小時完成了任務(wù)。二人又生產(chǎn)了2小時，師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10個。求二人的速度。練習(xí)4：、乙二人同時從A地去B地，前3小時，甲因修車1小時，因此乙鄰先于甲4千米。（2）在前4小時內(nèi)，甲實(shí)際只加工了4－=，=1725個零件，因此，1725＋400=，即乙每小時加工2125247。甲、乙每小時各加工零件多少個？【思路導(dǎo)航】（1）在后4小時內(nèi)，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（個）零件，甲每小時比乙多加工4600247。求買這些筆共用去多少錢？【例題4】 甲、乙兩名工人加工一批零件，因此前4小時甲比乙少做400個零件。這段小坡路全長多少米？，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。練習(xí)3：，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。這根鐵絲全長多少米？【思路導(dǎo)航】設(shè)這15段中有X段是8米長的，則有（15－X）段是5米長的。一部分每段長8米，另一部分每段長5米。這根竹竿原來長多少厘米？，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根長度的4倍。練習(xí)2：，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一個長8厘米，寬6厘米的長方形框架?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)橹窀拖炔辶艘淮危瑵窳?0厘米，倒轉(zhuǎn)過來再插一次又濕了40厘米，所以濕了的部分是402=80（厘米）。求兩隊原計劃每天各挖多少米？【例題2】 把一根竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過來插入水底，這時，竹竿濕的部分比它的一半長13厘米。由于更換了機(jī)器，甲每天多做40個，乙每天生產(chǎn)的是原來的4倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個。進(jìn)行技術(shù)改造后，1號鍋爐每月節(jié)約1噸煤，2號鍋爐每月燒煤量減少了一半。這320個零件中，有100個是甲多生產(chǎn)的，那么320－100=220（個）就是乙日產(chǎn)量的1倍，即乙原來的日產(chǎn)量，甲原來每天生產(chǎn)700－220=480（個）。由于改進(jìn)技術(shù)，甲每天多生產(chǎn)100個，乙的日產(chǎn)量提高了1倍，這樣二人一天共生產(chǎn)1020個。如果讓兩隊同時合運(yùn)，幾小時運(yùn)完？第9講 一般應(yīng)用題（三）一、知識要點(diǎn)解答一般應(yīng)用題時，可以按下面的步驟進(jìn)行：，找出已知條件和所求問題；，找出解題的途徑；，列出算式，算出得數(shù)；4，檢驗(yàn)解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫出答案。因工程需要，又派5輛卡車往工地送水泥，平均每輛卡車每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。兩管齊開，20分鐘能把一池水放完。50=16（桶）。每分鐘進(jìn)水多少桶？【思路導(dǎo)航】50分鐘內(nèi)，兩臺抽水機(jī)一共能抽水（18＋14）50=1600（桶）。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？【例題5】 一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機(jī)向外抽水，此時已進(jìn)水800桶。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。練習(xí)4：（1）班全體同學(xué)每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。2=43家?？梢钥隙ㄖ辽儆卸嗌偃怂捻?xiàng)都會？【例題4】 有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。練習(xí)3：，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。5=35（輛）……2噸，余下的2噸正好用小卡車運(yùn)。顯然，為耗油量最少應(yīng)該盡可能用大卡車。5=2（升）；小汽車一次運(yùn)2噸，耗油5升，平均運(yùn)1噸貨耗油5247。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外兩名同學(xué)共付給老師9元錢。每支鉛筆多少錢？，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，結(jié)果三人平均分了這些面包。16=3（元）。3=16（千克），也就是丙少拿16千克蘋果，所以得到242=48元。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？【思路導(dǎo)航】三人拿同樣多的錢買蘋果應(yīng)該分得同樣多的蘋果。參加游戲的小朋友一共有多少人？、乙二人同時從A地到B地，甲經(jīng)過10小時到達(dá)了B地，比乙多用了4小時。如果甲每小時比乙多生產(chǎn)10個零件，這批零件一共有多少個？，每組6人。（35－25）=5（米），這段排水管道的長度應(yīng)是535=175（米）。而這50米就相當(dāng)于（35－25）根短管子的長度。二、精講精練【例題1】 工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。這批機(jī)床一共有多少臺？第8講 一般應(yīng)用題（二）一、知識要點(diǎn)較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。這批煤一共有多少噸？。20=20（天），因此，王師傅一共做了6020=1200（個）零件。為什么會超產(chǎn)400個呢？是因?yàn)槊刻於嗌a(chǎn)了20個，400里面有幾個20，就是原計劃生產(chǎn)幾天。這本書一共有多少頁？【例題5】 王師傅原計劃每天做60個零件，實(shí)際每天比原計劃多做20個，結(jié)果提前5在完成任務(wù)。實(shí)際每天比原計劃少看了4頁。實(shí)際每小時比原計劃多行15千米，行了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。這樣運(yùn)了6小時就比原計劃多運(yùn)了3噸。（20－15）=110（件），原計劃加工11020=2200（件）。原計劃加工上衣多少件？【思路導(dǎo)航】由于每天比計劃多加工60件，15天就比原計劃的15天多加工6015=900（件），這時已超過計劃件數(shù)350件，900件中去掉這350件，剩下的件數(shù)就是原計劃（20－15）天中的工作量。求甲、乙每天各分得工資多少元？【例題4】 服裝廠要加工一批上衣，原計劃20天完成任務(wù)。A、B兩地相距多少千米？、乙兩人承包一項(xiàng)工程，共得工資1120元。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。（2520）=24（個）。由于甲每天比乙多加工6個，20天一共多加工620=120（個）。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。他們實(shí)際加工零件多少個？【例題3】 甲、乙二人加工零件。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？，原計劃每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。練習(xí)2：，原計劃每小時行40千米，實(shí)際每小時多行了10千米，這樣比原計劃提前2小時到達(dá)了乙地。因此，原計劃加工的天數(shù)是288247。這個車間實(shí)際加工了多少個零件？【思路導(dǎo)航】如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多563＋120=288（個）。這批樹苗一共有多少棵？【例題2】 某車間按計劃每天應(yīng)加工50個零件，實(shí)際每天加工56個零件。原來每人存款多少？，當(dāng)每個小組都運(yùn)了68箱時，正好運(yùn)走了這堆貨物的一半。2=48（人）。原來每班多少人？【思路導(dǎo)航】從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選166=96（人）。二、精講精練【例題1】 五年級有六個班，每班人數(shù)相等。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法）。因此，一般應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。7[200個8]（4）111…1247。4[100個6]（2）444…4247。練習(xí)5：…4247。2001247。余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。，小數(shù)點(diǎn)后第50個數(shù)字是幾？：123589……，其中，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和。6=16……4，所以，小數(shù)點(diǎn)后面的第100位是第17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字，是8。練習(xí)3：2424…24[2001個24]，積的尾數(shù)是多少？23…9899，積的尾數(shù)是多少？9494…94[102個94]－4949…49[101個49]，差的個位是多少？【例題4】 把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點(diǎn)后面第100位上的數(shù)字是多少？【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/7≈……，化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)“142857”共有6個數(shù)字。（2）用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個9相乘時，積的個位是以“9，1”兩個數(shù)字不斷重復(fù)，51247。50247。因?yàn)閭€位6乘6，積的個位仍然是6，所以不管多少個（2126）連乘，積的個位還是6。？。【思路導(dǎo)航】因?yàn)?13=210＋：210=2357，所以，符號題目要求的兩位數(shù)有25=10，27=14，35=15，37=7=35，235=30，237=。尾數(shù)和余數(shù)在運(yùn)算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。（ ）個正方形。練習(xí)5：（ ）個三角形。練習(xí)4：，連接任意四點(diǎn)圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？，連接其中的三點(diǎn)圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？，連接其中的四個點(diǎn)圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？【例題5】 數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？【思路導(dǎo)航】我們可以分類來數(shù)：；；；。【例題4】 如下圖，平面上有12個點(diǎn)，可任意取其中四個點(diǎn)圍成一個正方形，這樣的正方形有多少個？【思路導(dǎo)航】把相鄰的兩點(diǎn)連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個；（2）由4個小正方形組合而成的正方形有2個；（3）中間還可圍成2個正方形?！舅悸穼?dǎo)航】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個，共35個三角形。練習(xí)2：？，圖中共有多少個三角形。（1）圖中共有6個小三角形；（2）由兩個小三角形組合的三角形有3個；（3）由三個小三角形組合的三角形有4個；（4）由六個小三角形組合的三角形有1個。因此圖中共有18＋10＋4=32個正方形。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)。第5講 分類數(shù)圖形一、知識要點(diǎn)我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，剩下部分的周長是多少厘米？，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下圖），已知大長方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多10厘米。8=9（厘米），一個正方形的面積就是99=81（平方厘米）。【例題5】 有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。，并且28條邊的長都相等。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍?！舅悸穼?dǎo)航】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計算出所畫正方形的邊長或面積。求草坪的面積。這塊地原來的面積是多少平方米？，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。2=11（分米），面積是1111=121（平方分米）。20=2（分米），即大、小兩個正方形的邊