基本不等式全題型-文庫吧資料
2025-08-11 04:52本頁面
【正文】 x＋4y)＝＝＋≥＋2＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，∴3x＋4y的最小值為5.11．(2013在解題過程中先后兩次用到了重要不等式，第一次等號(hào)成立的條件是“當(dāng)且僅當(dāng) a＝2b 時(shí)”；而第二次等號(hào)成立的條件是“當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)”；這顯然不可能同時(shí)成立，因此等號(hào)取不到．3．已知x0，y0，且2x＋y＝1，則＋的最小值是_________．答案 8解析 因?yàn)椋?2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y＝，x＝時(shí)成立．例：已知x0，y0，且2x＋y＝1，則＋的最小值為________；解析 ∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，取等號(hào)．例：已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．思維突破：“整體代換”，將1用＋代替，則x＋y＝(x＋y)，再化簡，用基本不等式求解．解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即x＝12，y＝4時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)x＝12，y＝4時(shí)，x＋y有最小值為16.總結(jié)：已知條件與“1”有關(guān)，常利用“1”進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)化為能使積為定值的形式．例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，求x＋y的最小值．解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)的最小值為________．解析?。?＋＋4x2y2≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時(shí)“＝”成立．答案 9例：若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，則5xy＝x＋3y≥2，∴xy≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)取等號(hào)．∴xy的最小值為. 4．若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．答案 18解析 由x0，y0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥2＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”)，即()2－2－6≥0，∴(－3)天津高考)已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________．解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23(當(dāng)且僅當(dāng)3a＝32b，即a＝2b時(shí)取等號(hào))．∵a＋2b≥2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等號(hào))，∴3a＋9b≥232＝＝2b時(shí)，3a＋9b有最小值18.3．設(shè)x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為 ( )A．2 B. C．1 D.解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)“＝”成立，則＋的最大值 為1. 答案 C6．(20112＝，∴f(x) 值域?yàn)?答案：(1) (2)3．(教材習(xí)題改編)已知0x1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為________．解析：由x(3－3x)＝3x(3－3x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3－3x，即x＝時(shí)等號(hào)成立．答案：3．函數(shù)y＝x的最大值為________．解析：x＝≤＝.4．已知0x1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為 ( )A. B. C. D.解析 ∵0x1，∴1－x0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)取等號(hào)．答案 B10．已知x＞0，a為大于2x的常數(shù)，求函數(shù)y＝x(a－2x)的最大值；解：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝2x(a－2x)≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為.題型三：利用基本不等式求最值2．已知t0，則函數(shù)y＝的最小值為________．解析 ∵t0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1時(shí)取等號(hào)．答案?。?例：當(dāng)x0時(shí)，則f(x)＝的最大值為________．解析：∵x0，∴f(x)＝＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)．例1：(1)求函數(shù)f(x)＝＋x(x＞3)的最小值；(2)求函數(shù)f(x)＝(x＞3)的最小值；思維突破：(1)“添項(xiàng)”，可通過減3再加3，利用基本不等式后可出現(xiàn)定值．(2)“拆項(xiàng)”，把函數(shù)式變?yōu)閥＝M＋的形式．(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝＝x－3，即x＝4時(shí)取等號(hào)，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，則x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝＝t＋＋3≥2＋3＝5.當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最小值為5.技巧總結(jié)：當(dāng)式子不具備“定值”條件時(shí)，常通過“添項(xiàng)”達(dá)到目的；形如y＝(a≠0，c≠0)的函數(shù)，一般可通過配湊或變量替換等價(jià)變形化為y＝t＋(p為常數(shù))型函數(shù)，要注意t的取值范圍；例：設(shè)x－1，求函數(shù)y＝x＋＋6的最小值；解：∵x－1，∴x＋
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