反函數(shù)的存在性及求法-文庫吧資料
2024-08-18 04:09本頁面
【正文】 生活中,函數(shù)的反函數(shù)也占有較為重要的地位,但是反函數(shù)的定義很抽象,難于理解,中學(xué)數(shù)學(xué)中有一些基本的反函數(shù)的知識,在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教科書中,也都有對反函數(shù)的簡要介紹,但都不做重點講述,對反函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像、存在性、求法等進行了詳細地討論.1 反函數(shù)的定義及其性質(zhì) 反函數(shù)的定義定義 一般地,式子表示是自變量的函數(shù),設(shè)它的定義域為,通過式子,在中都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么式子就表示是自變量的函數(shù),這樣的函數(shù)叫做的反函數(shù),記作:,此時是自變量,為函數(shù).定義 對于函數(shù)或者,若任意,有（或）,那么就出現(xiàn)下述情況:對于集合中的每個數(shù),集合中有且僅有一個數(shù),便立刻得到一個定義在上的新函數(shù),稱為的的反函數(shù),記作:或者. 反函數(shù)的性質(zhì)由定義1和定義2易得,若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)是唯一的；反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域；,函數(shù)的反函數(shù)還有以下性質(zhì):性質(zhì)1 根據(jù)定義2,有.注1 和不一定是同一函數(shù),只有當(dāng)時,即的定義域與值域相同時,有助于解決一些十分繁瑣的問題.例題1 已知函數(shù),求和的值.分析 如果利用反函數(shù)的定義1,先解出,再把變換成代入,求第一式,把代入求第二式,此題將十分繁瑣,利用性質(zhì)1,有==,可輕松解出答案.性質(zhì)2 如果一個函數(shù)存在反函數(shù),則原函數(shù)與其反函數(shù)在各自定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性.設(shè)函數(shù)的定義域為,值域為,且為上的單調(diào)增函數(shù),其反函數(shù)為,求證:為上的增函數(shù).證明 取任意且,因為為增函數(shù),所以,即在上有 因為 ,當(dāng)時有,.例題2 （2008高考天津（理））設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為,則（ ）.A. 在其定義域上是增函數(shù),且最大值為1.B. 在其定義域上是減函數(shù),且最小值為0.C. 在其定義域上是減函數(shù),且最大值為1.D. 在其定義域上是增函數(shù),且最小值為0.解 函數(shù)為增函數(shù),由性質(zhì)2得也為增函數(shù)；由互為反函數(shù)的的兩個函數(shù)的定義域和值域互換,的定義域為[0,1）,可得的值域為[0,1）,故的最小值為0,答案為.性質(zhì)3 存在反函數(shù)的奇函數(shù)其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；而偶函數(shù)一般不存在反函數(shù),除外,它的反函數(shù)為.注2 對于偶函數(shù)一般不存在反函數(shù)的描述和反函數(shù)的定義2是吻合的,周期函數(shù)和一般偶函數(shù)都是一個值對應(yīng)多個值,所以這些函數(shù)在其定義域上沒有反函數(shù),但是,將函數(shù)限定在定義域的某個子集上,就可能存在反函數(shù).性質(zhì)4 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱.注3 （1）理解性質(zhì)4時應(yīng)注意,這里的反函數(shù)是指經(jīng)過習(xí)慣性改寫后的反函數(shù),即把,對調(diào)后的反函數(shù)；如果不經(jīng)對調(diào),則原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像在同一坐標(biāo)系內(nèi)是相同的. （2）一般情況下,原函數(shù)與其反函數(shù)的解析式是不同的,但也有一些函數(shù)外,即對定義域內(nèi)的任意,都有,這樣的函數(shù)稱為自反函數(shù),顯然,自反函數(shù)的定義域和值域相等,.（3）由此性質(zhì)引出了互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像交點問題,各種情況分類如下:1) ,即對數(shù)函數(shù)就沒有交點.2) .3) ,有無數(shù)個交點,但交點都不在直線上.4) 兩圖像的交點有的在直線上,一個在直線上,:可以清晰地看到三個交點.總結(jié)以上情況,可以歸納出以下兩條結(jié)論:結(jié)論1 互為反函數(shù)的增函數(shù),若兩函數(shù)圖像有交點,則交點定在直線上；求交點坐標(biāo)可解方程組或.結(jié)論2 互
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