三角函數(shù)及解三角形練習(xí)題-文庫吧資料
2025-08-11 03:08本頁面
【正文】 ]上，2x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，f（x）在此區(qū)間上先增后減，當(dāng)2x﹣θ=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為3，當(dāng)2x﹣θ=﹣θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為3cos（﹣θ）=3cosθ=1，故函數(shù)在[0，]上的值域?yàn)閇1，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題． 3．（2017?海淀區(qū)一模）已知是函數(shù)f（x）=2cos2x+asin2x+1的一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)的零點(diǎn)的定義，求得實(shí)數(shù)a的值．（Ⅱ）利用三角恒等變化化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函數(shù)y=sinx的遞增區(qū)間為，k∈Z．由，k∈Z，得，k∈Z，所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，三角恒等變換、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 4．（2017?衡陽三模）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），求函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域．【分析】（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），再由周期公式計(jì)算得答案；（2）由已知條件求出g（x）=sin（2x+）+，當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，則2x+∈，由正弦函數(shù)的值域進(jìn)一步求出函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，則2x+∈，則≤sin（2x+）≤1，即≤g（x），解得≤g（x）≤1．綜上所述，函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域?yàn)椋篬，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了函數(shù)值域的求法，是中檔題． 5．（2016?北京）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（1）利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[]（k∈Z）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和的正弦，屬中檔題． 6．（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π 求得ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ 的值．（Ⅱ）由條件求得sin（α﹣）=．再根據(jù)α﹣的范圍求得cos（α﹣）的值，再根據(jù)cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，可得 2+φ=kπ+，k∈z．結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根據(jù) 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，兩角和差的三角公式、的應(yīng)用，屬于中檔題． 7．（2017?江蘇）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．【分析】（1）根據(jù)向量的平行即可得到tanx=﹣，問題得以解決，（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3
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