第六章定積分及其應用-文庫吧資料
2025-08-07 13:20本頁面
【正文】 d x?i?( ) ( ) ( )b b ba a af x dx f u du f t dt??? ? ?若只有 則不能保證區(qū)間分割無限細密 . 注 3. ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積的充要條件是極限 且此極限值與 [a, b]的分法和 的取法無關 . n ??則可選擇較為方便的區(qū)間分法和 的取法 , 使得計算簡便 . 11 三 .函數(shù)可積的條件 由注 3知 , 每個函數(shù)的可積性與積分和的極限的存在 性等價 , 但求積分和的極限 , 卻非常困難 . 定理 1. 若 ?(x)在區(qū)間 [a, b] 上無界 , 則 ?(x)在 [a, b]上必不可積 . 問題 : 下面給出函數(shù)可積的幾個定理 : 其等價命題為 “ 可積函數(shù)必有界 ” — — 函數(shù)可積的必要 條件 . 以下三個定理是函數(shù)可積的充分條件 . 定理 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , 則 ?(x)在 [a, b]上可積 . 定理 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上有界且只有有限個間斷點 , 則 ?(x)在 [a, b]上可積 . 12 注 , 就可借助定義 1來 例 1 利用定積分定義計算定積分 40 ( 2 3 )x dx??可將區(qū)間 [0, 4] 特殊劃分并特殊取點 . 定理 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上單調(diào)有界 , 則 ?(x)在 [a, b]上可積 . 解 因 ?(x)=2x+3 在 [0, 4] 上連續(xù) , ② .將某些極限問題轉換為一個定積分 . ① .計算給定的定積分的值 。 但從區(qū)間 [a, b]的一個局部 (小區(qū)間 )來看 , 它也是一個變量 。 ( ) ?ba f x d x ??2 第六章 定積分及其應用 ? 前一章討論了已知一個函數(shù)的導數(shù) , 如何求原來的函數(shù) , 這樣一個積分學的基本問題 —— 不定積分 . 這一章將討論積分學的另一個基本問題 —— 定積分 . ? ? ? 本章的主要問題有 : 10 c o s ?x d x ??3 一 .引例 (曲邊梯形的面積 ) 定義 1. 在直角坐標系中 ,由一條連續(xù)曲線 y=?(x)和三條直線 x = a、 x = b和 y = 0 (x軸 ) 所圍成的圖形 , 稱為曲邊梯形 , 如右圖 AabBA (與直邊梯形 AabB的區(qū)別 ) . o x y y=0 y=?(x) x=a x=b a b B A 167。 167。 167。1
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