【正文】 入矢量 ),( ??fkkK ??? ???2s in2?kK ?θ k??kkK ??? ???k??? derUderU rKirkki? ? ?????? ?? ?????? )()( )(其中 ?是散射角， 是散射引起動量的變化，于是 K??（ 8） 四 .玻恩近似 (續(xù) 4) .Scattering 45 取 的方向為球坐標的極軸方向， 為方位角，則可簡化積分 K? ?? ??,2c o s20 0 0( ) ( ) s i ni K ri K rU r e d U r r d r e d d?? ?? ? ? ?? ???? ?? ??? ? ? ?? ?? 0 )s in ()(4 drKrrrUK?20422)si n ()(4),( ? ?? drKrrrUKq ????（ 9） 因而 （ 10） 此式即為玻恩近似表達式，若勢能 已知，計算積分后就可以求出微分散射截面，所以，應用玻恩近似法計算微分散射截面時，主要難點在于給出 的具體形式后，如何計算積分 。 2()a?aa14 三、分波法 (續(xù) 24) .Scattering 40 四 .玻恩近似 分波法僅適用于討論低能粒子的散射問題，當入射粒子的能量很高時，采用分波法計算散射截面就不恰當了，對于高能入射粒子而言，勢能 可看作是微擾，體系的哈密頓算符為 )(rU ?HHH ??? ??? 0其中， 是粒子的動能（自由粒子的哈密頓量），其本征函數取箱歸一化的動量本征函數 ?2?? 20pH ?rkik eL??? ??? 23? pk????????， 波 矢 量 .Scattering 41 粒子與散射力場的相互作用能： )(? rUH ??? 這里 ， 采用箱歸一化意味著體積 L3內只有一個粒子 。利用 時， ， 有 )0( ?k0kk ??1x?? a r c tg x x（ 13） （ 14） 對于球方勢壘 。 E ? ?Ur0 0U ?（ ）因粒子波長 11a a k ak? ? ? ? ? ? ? ?h k? ?所以僅需討論 s波的散射 ， 據此及（ 2）式，可將方程（ 1）寫成 ? ?0l ? 三、分波法 (續(xù) 19) .Scattering 35 22002()1 ( ) 0d R rd r k R r r ar d r d r?? ?? ? ?????22002()1 ( ) 0d R rd r k R r r ar d r d r?? ? ? ?????其中 2022 kkk ???rrurR )()( 00 ?（ 4） （ 3） 令 則 （ 3） ， （ 4） 可寫成 0)()( 02202??? rukdrrud （ 5） 三、分波法 (續(xù) 20) .Scattering 36 0)()( 02202?? rukdrrud00( ) s in ( )u r A k r r a???? ? ?00( ) s i n ( )u r B k r r a?? ? ?（ 6） 其解為 （ 7） （ 8） arrkrArR ????? )s i n ()( 00 ?arkrrBrR ??? )s i n ()( 00 ?于是 （ 9） （ 10） 因 在 處有限，必須有 rrurR )()( 00 ?0r ? 0)0(0 ?u所以 00 ??? 三、分波法 (續(xù) 21) .Scattering 37 在 處， 及 連續(xù)，因此， 及 在 處連續(xù)。 設入射粒子能量很小 ， 其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多 （ 質子和中子的低能散射可以近似地歸結為這種情況 ） ， 求粒子的散射截面 。 ll? 三、分波法 (續(xù) 17) .Scattering 33 分波法應用舉例 ??????ararUrU0)( 0ex. 球方勢阱和球方勢壘的低能散射。 ? ?Ur? ?Ur 三、分波法 (續(xù) 15) .Scattering 31 思考題： 什么是分波法？ 分波法是說入射平面波 eikz按球面波展開 c o s0( 2 1 ) ( ) ( c o s )i k z i k r l llle e l i j k r P? ???? ? ??22 2 2 21 ( ) 2 2 ( ) ( 1 ) ( ) 0d d R r E U r l lr R rr d r d r r?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產生一個相移 。所以，我們把分波法適用的條件 lj (kr) 0?? klrlj (kr)l ka? ra?ll 三、分波法 (續(xù) 13) .Scattering 29 寫成 ，而 的分波不必考慮， 愈小，則需計算的項數愈小，當 時， ， 這時僅需計算一個相移 即足夠了， 足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射， 的分波散射截面可以略去。 ra?a 三、分波法 (續(xù) 12) .Scattering 28 由于入射波的第 個分波的徑向函數 的第一極大值位于 附近，當 較大時，愈大， klr ?lj (kr)llr( ) 0lj k rr ??愈快，如果 的第一極大值位于 ，即 時，在 內， 的值很小。但實際上，依次計算級數中的各項是相當復雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數中的前幾項，達到一定精確度即可。 ll?光 學 定 理 )0(Im4 fkQ??（證明見后） 三、分波法 (續(xù) 11) .Scattering 27 分波法求散射截面是一個無窮級數的問 題。 l?????? ?? llkr ??21?????? ? ?lkr 21ll? ll? 的物理意義： 三、分波法 (續(xù) 8) .Scattering 24 微分散射截面 （ 315） 212 s i n)( co s)12(1|)(|)( ??????llillePlkfq ???? ??? ??? ????? dqdqQ s i n)(2)(??????? ??? dPPellk llllil lll s i n)( cos)( coss i ns i n)12)(12(20)(0 02 ?? ? ?????????????llllil l lellk ll ???????? ?????? ?? ? ???? ?? 12 2s i ns i n)12)(12(2 )(0 02lllk ?? 202 s in)12(4 ?????總散射截面 三、分波法 (續(xù) 9) .Scattering 25 即 （ 316） ????0ll式中 （ 317） ll lkQ ?? 22 s in)12(4 ??是第 個分波的散射截面 。 （ 31） 粒子在輳力場中的勢能為 ，狀態(tài)方程 )(rU ?由于現在 ?與 ?無關 (m=0)， 所以 ， 方程 （ 1）的特解可寫成 三、分波法 .Scattering 16 ( ) ( c o s )llR r P ?方程（ 31）的通解為所有特解的線性迭加 ( , ) ( ) ( c o s )lllr R r P? ? ?? ?（ 32） （ 32）代入（ 31），得徑向方程 為待定的徑向波函數 ， 每個特解稱為一個分波 ， 稱為第 個分波 ， 通常稱 的分波分別為 s, p, d, f… 分波 )( co s)( ?ll PrR? ?lRrl0 ,1, 2 , 3 ,l ?22221 ( 1 )( ) ( ) 0lldRd l lr k V r R rd r d rrr??? ??? ? ? ??? ??????（ 33） 三、分波法 (續(xù) 1) .Scattering 17 222() ( ) 0lld U r k U rdr??2222( 1 )( ) ( ) 0lldU llk V r U rd r r???? ? ? ?????令 ()() ll UrRr r? 代入上方程 （ 34） 考慮方程（ 34）在 情況下的極限解 ??r令 方程（ 34）的極限形式 ??r由此求得： ( ) s i n ( )l l lU r A k r ?????1( ) s i n2lllAR r k r lkr ??????????（ 35） r ?? 三、分波法 (續(xù) 2) .Scattering 18 為了后面的方便起見 ， 這里引入了兩個新的常數 ,2l l l llA k A ?????? ? ?將（ 35）代入（ 32），得到方程（ 31）在 情形下通解的漸近形式 ??r11( ) ( )220( c o s )2lli k r l i k r llllAe e Pi k r? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ?????01( , ) s i n ( c o s )2llll