第九節(jié)有理系數(shù)多項式-文庫吧資料
2025-07-29 10:04本頁面
【正文】 證畢 . 上頁 下頁 返回 以上的討論解決了我們提出的第一個問題，現(xiàn)在來解決第二個問題，首先我們來證明 定理 13（ 哎森斯坦因（ Eisenstein）判別法 ）設 .|.3。 a f(x)=(rsg1(x))h1(x) 這里 rsg1(x)與 h1(x)都是整系數(shù)多項式，且次數(shù) 都低于 f(x)的次數(shù) . 證畢 . 推論 設 f(x),g(x)是整系數(shù)多項式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數(shù)多項式，那么 h(x)一定是整系數(shù)的 . 上頁 下頁 返回 由定理的證明容易得出 （這個 推論 的證明當作練習自己完成 .） 這個 推論 提供了一個 求整系數(shù)多項式的全部有理根的方法 . 上頁 下頁 返回 是一個整系數(shù)多項式，而 是它的一個 有理根 ，其中 r,s互素，那么必有 s|an， r|a0 . 特別的 ，如果 f(x)的首項系數(shù) an=1，那么 f(x)的 有理根都是整數(shù)根 ，而且是 a0的因子 . 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?sr定理 12 設 |?????? ? srx ? ?xf從而 ? ? |rsx ? ? ?xf證明 因為 是 f(x)的一個有理根，因此在有理數(shù)域上 sr因為 r,s互素，所以 sxr是一個本原多項式 . 根據(jù)上述推論， )...)(()( 011 bxbrsxxf nn ???? ??式中 bn1, …, b0都是整數(shù)，比較兩邊系數(shù)，即得 ., 001 rbasba nn ??? ?上頁 下頁 返回 因此得到 s|an， r|a0 證畢 . 例 1 求方程 2x4x3+2x3=0 的有理根 . 解 這個方程的有理根只可能是 ， 用 綜合除法 可以看出，除去 1以外全不
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