【正文】 Ts3+s2+K=0 第 3章 時域分析法 圖 316 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 )1(2?TssKR ( s ) C ( s )－第 3章 時域分析法 1. 改變環(huán)節(jié)的積分性質(zhì) 可用比例反饋來包圍有積分作用的環(huán)節(jié) 。 但是， 它可以確定一個或兩個系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 例 某控制系統(tǒng)的特征方程為 s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 例 已知系統(tǒng)的特征方程 s3+2s2+s+2=0 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 圖 315 例 )1250)(110( ?? KR ( s ) C ( s )－第 3章 時域分析法 兩種特殊情況 如果勞斯表中某行的第一個元素為 0， 而該行中其余各元素不等于 0或沒有其他元素 ， 將使得勞斯表無法往下排列 。 第 3章 時域分析法 例 系統(tǒng)如圖 315所示 。 否則 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 ， 且第一列元素符號改變的次數(shù)等于特征方程正實部根的個數(shù) 。 第 3章 時域分析法 ??3133153142313213314115041321302131bbaaabbbaaabaaaaabaaaaab????????以此類推， 可求出各元素 b31， … ， bn+1。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項系數(shù) ， 經(jīng)過代數(shù)運算來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的 。 但對于高階系統(tǒng) ， 求解方程的根比較困難 。 當把這個判據(jù)應用到控制系統(tǒng)時 ， 根據(jù)特征方程的系數(shù) ， 可以直接判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性 。 由上式可知 ， 要做到這一點 ， 必須滿足 0lim ??? tst ie所以 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是系統(tǒng)所有特征根的 實部小于零 （ 或其特征方程的根都在 s左半平面 ） ， 即 Re［ si］ 0 i=1， 2， ..., n 第 3章 時域分析法 勞斯 （ Routh） 穩(wěn)定判據(jù) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠告訴我們 ， 在一個多項式方程中是否存在著正根 ， 而不必實際求解這一方程 。 對上式求拉氏反變換 ， 得系統(tǒng) 輸出響應為 tsntsits ni eAeAeAAtc ?????? ??110)(第 3章 時域分析法 其中 ， 第一項為由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量 ， 其余各項為系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)分量 。 穩(wěn)定性是去除外部作用后系統(tǒng)本身的一種恢復能力 ， 所以是系統(tǒng)的一種固有特性 ， 它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) ， 而與外作用及初始條件無關(guān) 。 (4) 一個實際的高階系統(tǒng) ， 其結(jié)構(gòu)參數(shù)是確定的 ， 不一定存在主導極點 ， 但往往可以通過加入校正裝置 ， 改變其結(jié)構(gòu)參數(shù) ， 使數(shù)個系統(tǒng)具有一對合適的共軛復數(shù)極點 ， 因為此時系統(tǒng)的動態(tài)性能比較理想 。 (2) 極點的實部越負 ， 即在 s左半平面上離虛軸越遠 ， 則相應的瞬態(tài)分量衰減越快； 反之 ， 在 s左半平面上離虛軸很近的極點 ， 其對應的瞬態(tài)分量衰減就很慢 ， 它在總的瞬態(tài)分量中占據(jù)主導地位 。 第 3章 時域分析法 由上述分析可以得出： (1) 高階系統(tǒng)的時域響應是由慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)所組成的 。 據(jù)待定系數(shù)法可求得對應于負實數(shù)極點 si的瞬態(tài)分量 tsiniiiiiimiiitsiii eszszszszszszszsKeA)())(()()())((111210?????????? ???(342) 第 3章 時域分析法 可見 ， 對應的瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減 ， 其系數(shù)與該極點到零點的距離成正比 ， 與該極點到其他極點的距離以及該極點到虛軸的距離成反比 。 設(shè)輸入為 ssR1)( ?則有 ssssssszszszsKsCmm 1)())(()())(()(21210 ??????????第 3章 時域分析法 無重極點時， 可寫成部分分式 : nnssAssAssAsAsC???????? ?22110)(對上式求拉氏反變換， 得輸出響應為 tsntsts neAeAeAAtc ????? ?21 210)((341) 第 3章 時域分析法 式 (341)中的 A0表示由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量； 其他各項表示輸出瞬態(tài)分量 。 第 3章 時域分析法 高階系統(tǒng)的時域分析 三階及三階以上的系統(tǒng)通常稱為高階系統(tǒng) 。 ξ較小時 ， 在 ωn不變的前提下 ， 阻尼比的加大將使 ts減少 。 這時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ssssGnnn2222)(???????? 閉環(huán)傳遞函數(shù) 22222222)2()(nnnnnnnsssss???????????????????(339) 第 3章 時域分析法 其中 , 2ωnξ′=2ξωn+ηω2n 即有 2n???? ???(340) 第 3章 時域分析法 其中 ξ′稱為等效阻尼比 。 第 3章 時域分析法 設(shè)沒有采取性能改善措施之前 ， 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖 313中曲線 a所示 , 則采用比例微分控制后系統(tǒng)性能的改善如圖 313中曲線 b所示 。 同時， 若傳遞函數(shù)中增加的零點合適， 將使得系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間 ts減少。 二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()1()( 2nnssssG???????第 3章 時域分析法 圖 312 比例微分控制的二階系統(tǒng) )2( nn2????ssR ( s ) C ( s )－? s ＋ 1第 3章 時域分析法 閉環(huán)傳遞函數(shù) 222222222222)1()2()1(2)1()()()(nnnnnnnnnnnsssssssssssRsCs???????????????????????????????????? (337) 第 3章 時域分析法 其中 , 22222nnnn????????????????(338) 即有 其中 ξ′稱為等效阻尼比。 工程中 ， 通過在系統(tǒng)中增加一些合適的附加裝置來改善二階系統(tǒng)的性能 。 例 已知隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )(5)(?? ssKsG A系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖 311所示 ， 試分別計算 KA=200, 1500和 10 時 ， 系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 tp， ts和 ζ％ 。 ξ一定時 ， ωn越大則 ts越小 。 即 ξ太小或太大 ， 快速性均變差 。 ξ一定時 ， ωn越大則 ωd越大 ， 系統(tǒng)平穩(wěn)性變差 。 另外 ， 若輸入為單位斜坡信號 ， 即 21)(ssR ?第 3章 時域分析法 時， 可求得 nnnnsstsssRsssRtsEtee??????2)(2)(l i m)(l i m)(l i m22200?????????????????? (336) 第 3章 時域分析法 由以上的分析可歸納出二階系統(tǒng)性能分析要點： 1) 平穩(wěn)性 主要由 ξ決定 ， ξ越大則 ζ%越小 ， 平穩(wěn)性越好 。 2%誤差帶 (335) 或按式 (332)作近似計算。 設(shè) |s1||s2|， 則 111sT?? ts≈3T1177。 對于過阻尼二階系統(tǒng) ， 其性能指標只有調(diào)節(jié)時間 ts和穩(wěn)態(tài)誤差 ess。 當 ξ大于上述值時 ， 可采用近似公式計算： )(1 ?? ??nst第 3章 時域分析法 5. 穩(wěn)態(tài)誤差 ess 根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義和終值定理 , 有 )(l i m)(l i m 0 ssEtee stss ??? ?? (333) 當 R(s)=1/s時 ， 由式 (333)可算得 ess＝ 0。 5%誤差帶 ξ, 177。 1. 上升時間 tr 根據(jù) tr的定義 ， 有 1)s i n (11)(2???????????rdtr tetc n第 3章 時域分析法 ????????????????2,00)s i n (0)s i n (11)s i n (11)(22??????????????rdrdrdtrdtrtttetetcnn即 第 3章 時域分析法 于是有 21 ????????????ndrt(327) 其中 ??? 21a r c t a n ?? (328) 第 3章 時域分析法 2. 峰值時間 tp 根據(jù) tp的定義 ， 可采用求極值的方法來求取 。 第 3章 時域分析法 圖 310 不同 ξ值時對應的單位階躍響應曲線 ? ＝ 00 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 81 . 02 . 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?nt0 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 21 . 41 . 61 . 82 . 0h ( ?nt)第 3章 時域分析法 二階系統(tǒng)和它的瞬態(tài)響應指標 下面主要對欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標進行討論和計算 。 由圖可見， ξ值越大， 系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好， 超調(diào)越?。? ξ值越小， 輸出響應振蕩越強， 振蕩頻率越高。 輸出的拉氏變換為 22222 11)(nnnssssssC?????????其拉氏反變換為 c(t)=1cosωnt t≥0