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正文內(nèi)容

單純型算法的復雜性及改進途經(jīng)-文庫吧資料

2025-07-24 13:53本頁面
  

【正文】 mn?任意給定一個 的列滿秩 整數(shù) 矩陣 和一個 維 的 整數(shù) 向量 ,要判定集合 是否非空,并在非空的情況下找到一個 A nb0X? ? ? ?? ?10 0 0 0TnE X R X X B X X?? ? ? ??因為 ,所以 先找到一個包含 的橢球 ? ? ? ?0V o l V o lE ??0B用橢球算法求解前述判定問題的核心迭代步驟 ?要求 正定,其體積為 0E??? ?00V o l 0EE d X???1X0X0X ??如果 ,停止。否則,存在 ,過 點 做超平面把橢球分為兩半,其中一半包含 ,然后再 做 包含包含 的半個 橢球 ,因此仍然成立 ?0Tiia X b?0Tiia X b?0TTiia X a X?? ? ? ?? ?11 1 1 1TnE X R X X B X X?? ? ? ?0X?1E??因此,迭代算法或者在找到一個 后停止,或者 隨著迭代次數(shù)增加使橢球的體積以負指數(shù)速率逼近零 從 到 有迭代公式(教材 66頁),并可證明 1E0E? ?? ? ? ?12 2120V o l 1e x pV o l 1 1 2 1nE nnE n n n????? ??? ????? ? ??? ??kX ??推導上面公式的方法:先計算 是圓心在原點的單位 圓的情況,然后再用坐標變換變成橢圓的情況 0E0v??如果能夠 : 1)找到包含 的橢球 ; 2)找到 的下界 ,則可得到 0E ? ?Vol ?? ?? ? ? ?10V ol 1e xpV ol 2 1EEn?????????利用 ,經(jīng)過 次迭代,可得 ? ? ? ? ? ?0V o l e x p V o l21k kEE n???? ?? ???若要達到 ,只需要 ? ?V o l kEv?? ? ? ?0V o l2 1 l n Ekn v???? ????取 為剛剛大于以上不等式右邊數(shù)的整數(shù),橢球算法 必在 步迭代之內(nèi)解決判定問題 k?k?k? ? ? ?0V o l V o lvE? ? ?實現(xiàn)前面想法的難點: 0v?對證明橢球算法是多項式算法有利的關系: ? ?V o l v??0E第一、是否存在滿足 的 ? ( 可能屬于降維空間,體積為零) 第二、是否存在滿足 的 ? ?? ? ? ?0V o l V o lE ??( 可能無界,體積為無窮大) ?? ? ? ?0V o l2 1 l n Ekn v???? ????容許 為 的指數(shù)函數(shù) ? ?0V o l Ev n克服難點的關鍵 當全部輸入數(shù)據(jù)的二進制位數(shù)不大于 時,任何數(shù)據(jù)的 絕對值就有個最大的上界 L2L當全部輸入數(shù)據(jù)都是整數(shù)時,對它們進行加減乘法運算 得到仍然是整數(shù),而非零整數(shù)的絕對值以 1為下界 利用上述上下界就可能解決無界和體積等于零的困難 例如, 為整數(shù)時 以下兩不等式組同時有解或無解 ,有 解時前者體積可能等于零,而后者體積一定不小于 ,aba x b?? 0 . 2 5 0 . 2 5a x b? ? ? ?? Ab? ?nX R A X b? ? ? ?設 是 的任意一個頂點,由規(guī)范形 式可行集的頂點描述方法可知,在 中存在 個線性無 關的行向量構(gòu)成可逆矩陣 滿足 ,于是 XA n? nnAR?? ?AX b?1?X A b??由求解線性方程組的 克萊姆公式 可得 ? ?? ??d e t,1?d e tjjAx j nA? ? ? ?其中 是用 替換 的第 列向量得到的矩陣 ?jA j先考慮第二個難點 例如,求以下方程的解 1 1 2 21 1 2 210b y b ya y a y????用克萊姆公式 2121121 2 1 21 2 1 211de t de t00? ?,de t de tbbaayyb b b ba a a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?可得 21121 2 2 1 1 2 2 1? ?,aayyb a b a b a b a?????? ? () ()1? ?d e t ( 1 ) njiiiAa ?? ?? ???? ?如果將 寫成 ,根據(jù)行列式的定義,可得 ?jA ? ?? ?jij nnAa ??其中 是 的一種排列,求 和是對全部 種排列求和,由于 ,可以得到 ,又因為 ( !) ,所以 ? ?( 1 ) , ( 2 ) , , ( )n? ? ? ?? ? ?1, 2 , , n!n ? 2Lija ?? ? ? ??d e t ! 2 2 nj n L LA n n?? ? ??d e t 1A ?? ? ? ?2 2 , 1nnLL jn x n j n? ? ? ? ? ?由此可知,按以下參數(shù)定義的 可以包含 的全部頂點 ? ? 2022 , 2 nLX B n n I???0E再考慮第一個難點 ? ?nX R A X b? ? ? ?我們要確定一個 ,使 和 或者同時為空集,或者同時非空, 其中 0?? ? ?nX R A X b e? ?? ? ? ? ?由于顯然成立 ,如果 是空集可以肯定 也 是空集,所以只需做到 是空集能保證 也是空集 ?? ? ?? ?1 , 1 , ,
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