【正文】 個具有代表性的分數階PID控制器的設計方法。其中比較著名的是A. Oustaloup 的CRONE控制器，I. Podlubny提出的控制器，以及Y. Q. Chen等人提出的結構的分數階PID控制器。雖然在參數整定方面，多個參數的整定會提高算法的復雜程度，但是對提高系統(tǒng)靈活性、魯棒性以及總體控制性能等都將起到積極的作用。眾所周知，傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)中三個參數分別有著對系統(tǒng)不同的調節(jié)作用。整數階PID控制器是現今為止在工業(yè)控制領域應用最為廣泛的控制器。從式子中可以看到，當時，分數階控制器就變成了傳統(tǒng)的整數階PID控制器。廣義PID控制器的階次更為靈活，其積分和微分部分的階次為實數，并且認為傳統(tǒng)的整數階PID控制器是分數階控制器的一種特例。然而隨著時間的推移，人們對控制器性能的要求已經越來越高，很多時候會要求系統(tǒng)的控制速度更快，控制精度更高，系統(tǒng)魯棒性更強等等。另外根據加拿大一項統(tǒng)計發(fā)現97%的造紙廠控制設備使用的是PI控制器。 近年來國內一些學者也開始對分數階控制系統(tǒng)進行研究，其中薛定宇等人提出了分數階PID控制器的設計方法[68]，并且對分數階控制系統(tǒng)在Matlab中的實現問題展開了深入研究；文獻[7072]對分數階PID控制器的整定問題進行了研究，并提出了一些有意義的整定方法；文獻[774]開展了分數階控制器應用于燃料電池溫度仿真控制方面的探索研究研究。由于分數階控制器在計算機中的實現手段主要還是借用整數階逼近的方式來實現，因此很多學者對這種近似方法進行了分析，Blas “Tustin”方法對分數階微分及積分算子進行離散研究[50]；Igor Podlubny 在文獻[51]中專門對分數階控制器在計算機中實現的問題進行了討論；YangQuan Chen 等人利用脈沖響應不變原理得到了分數階算子的高階近似方法[553]。至今為止，分數階PID控制器是分數階控制器家族中發(fā)展最快的，但同樣也有越來越多的學者對基于分數階微積分的其他控制手段進行研究。其中，Y. Q. Chen等人對分數階魯棒控制進行了深入的研究，利用Lyapunov不等式對分數階魯棒穩(wěn)定區(qū)間問題進行了探討[26]。由于分數階控制器的結構特點，一些學者開始對分數階控制器的整定問題進行研究，并發(fā)現分數階控制器較之整數階控制器更為靈活且更容易實現控制系統(tǒng)性能要求。Igor Podlubny從理論上提出了一個廣義的分數階PID控制器的結構及傳遞函數，被稱為控制器[19]，其中積分器和微分器的階次均為實數。 文獻[22]中，Manabe 介紹了非整數階的頻率響應以及在控制系統(tǒng)中的應用?？偨Y起來，分數階控制器較之傳統(tǒng)控制器具有以下明顯特點：（1）對于分數階被控對象，利用分數階控制器控制性能優(yōu)于傳統(tǒng)的整數階控制器；（2）分數階控制器對被控對象參數的變化具有較強的魯棒性；（3）當用整數階微積分對某些系統(tǒng)建模比較復雜時，分數階微積分往往能更好的描繪系統(tǒng)的特性，且系統(tǒng)傳遞函數更為簡單。Igor Podlubny在關于分數階PID控制系統(tǒng)[19]一文中指出，對分數階被控對象而言，用分數階PID的控制效果優(yōu)于用整數階PID的效果。那么從這種從屬關系可以設想，整數階微積分能夠描述的系統(tǒng)分數階微積分肯定能夠描述，但是分數階微積分描述的系統(tǒng)特性用整數階微積分來描述將會變得特別復雜或者根本無法得到準確的整數階系統(tǒng)模型。因此，分數階微積分的應用很大程度上處于探索階段。但是分數階微積分的發(fā)展較之整數階微積分仍然很慢，主要是由于分數階微積分的定義很多，在不同的領域沒有一個統(tǒng)一的數學定義。 Caputo定義下的分數階積分Laplace變換為 ()其中， ()我們可以得到Caputo分數階微分的Laplace變換為 ()其中。 Caputo定義下的Laplace變換Caputo定義下的分數階微分因其在初始條件的導數為0，具有明確的物理意義，在實際中應用較為廣泛。RiemannLiouville定義的分數階積分的Laplace變換表示為 ()以上便是著名的RiemannLiouville分數階微分的Laplace變換。對于一個普通函數的Laplace變換為 ()對于分數階函數而言，根據不同的定義，其Laplace變換存在著差別，下面將介紹兩種常用定義的Laplace變換。 分數階微積分的Laplace 變換在控制系統(tǒng)中，時域和頻域往往能找到明確的對應關系。還有就是Caputo定義對常數的導數是有界的，即常數的導數為0，而RiemannLiouville定義對常數的導數卻是無界的。從上式可以看到Caputo 定義較之前兩種定義條件強一些，它要求函數前n階導數可積。因此，在應用方面的發(fā)展受到阻礙。 然而， 有一點是值得我們思考的，RiemannLiouville 定義需要解決一個初始值問題。另外地，RiemannLiouville 定義在工程中得到廣泛應用，還有一個重要條件就是它要求可積。 RiemannLiouville 的定義需要保證函數是連續(xù)的，這一點在數學上的要求是比較苛刻的。很多時候分數階后向差分以一種極值的情況出現是很不利于實際應用的。nwaldLetnikov定義 對于任意的，函數的階導數定義如下 （）其中，是兩個極值。廣義MittagLeffler函數定義為 （）其中。單參數MittagLeffler函數的定義為 ()在分數階微分方程中，MittagLeffler函數也扮演著十分重要的角色?？梢员硎境桑? () MittagLeffler 函數 MittagLeffler函數在微分方程中起著非常重要的作用。 Gamma 函數 Gamma函數定義為： ()其中。nwaldLetnikov定義、RiemannLiouville定義、Caputo定義。 分數階微積分定義在分數階領域里，分數階算子在時域中的統(tǒng)一表達形式為： ()隨著分數階微積分的發(fā)展，根據其應用領域的不同至今為止出現了很多關于分數階微積分的數學定義。因此隨著分數階微積分從一個純數學問題開始演變成一種系統(tǒng)建模的工具，再到推動分數階控制理論的發(fā)展，必須承認這是分數階微積分理論和控制理論共同良性發(fā)展的一條必然之路，它們之間互相提供了大量的、新的研究方向和發(fā)展空間。大量學者將分數階微積分理論應用于控制系統(tǒng)的研究，并不斷取得進展[1112]。這一優(yōu)勢在結構力學，電學，流體力學等方面體現得更為明顯。 特別值得一提的是，最近幾十年分數階微積分在描述各種物理、化學材料的特性時展現出來了巨大的應用前景。 首次指出大量分數維的現象存在于自然界和許多技術科學中，由此分數階微積分作為分數階動力學的基礎和有力工具獲得了極大的發(fā)展。直到上世紀七十年代，在美國的New Haven大學組織了第一屆分數階微積分及其應用大會，這次大會為分數階微積分的實際應用起到了積極的推動作用。當，,時有 () 隨著時間的推移越來越多的數學家展示出了對分數階微積分濃厚的興趣，并在此道路上作出了巨大的貢獻[1]。分數階微積分理論誕生于1695年，在 Leibniz 與 L’Hospital 的書信來往中，談論到了分數階導數的相關問題，如圖（）。隨著人們對分數階微積分認識的不斷加深，越來越多的人開始認識到分數階微積分對近代科學高速發(fā)展具有的價值和意義。nwaldLetnikov定義 4 RiemannLiouville 定義 4 Caputo 定義 4 分數階微積分的Laplace 變換 5 RiemannLiouville定義下的Laplace變換 5 Caputo定義下的Laplace變換 5 分數階微積分在控制系統(tǒng)中的應用 6 6 分數階PID控制器概述 8 分數階PID控制器的整定方法概述 9 分數階PID控制需要解決的幾個問題 9 分數階PID控制器在電力系統(tǒng)負載頻率控制方面的應用價值 10 本課題來源及本文的主要研究內容 11 本課題來源 11 本文主要研究內容 11第2章 對系統(tǒng)開環(huán)增益魯棒性分數階PID控制器設計方法 13 引言 13 開環(huán)增益魯棒性分數階PID控制器參數整定方程設計原理 13 分數階PD及[PD]控制器參數整定問題的研究 16 FOPD控制器設計 17 分數階[PD]控制器設計 19 23 增益魯棒性FOPI及FO[PI]控制器整定算法 25 FOPI控制器參數整定方法 25 FO[PI]控制器整定方法 27 系統(tǒng)仿真 28 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應 28 FO[PD]控制器階躍響應 29 IOPID控制器階躍響應 30 利用三種控制器進行仿真比較 30 FOPI控制器階躍響應 31 FO[PI]控制器階躍響應 32 本章小結 33第3章 對系統(tǒng)時間常數魯棒性的分數階PD控制器設計方法 35 引言 35 問題描述 35 FO[PD]整定方程以及方法 36 數值計算 39 解存在的范圍 39 數值計算和仿真驗證 41 與其他方法比較驗證 44 在線計算 45 實驗研究 47 本章小結 49第4章 分數階PID自整定算法研究 51 引言 51 控制器自整定算法研究 51 整定方程設計 52 FOPI控制器自整定算法研究 52 FO[PI]控制器自整定算法研究 55 FOPD以及FO[PD]控制器自整定問題研究 57 FOPD控制器參數自整定方法 57 FO[PD]控制器自整定算法研究 59 自整定策略 61 幾種受控對象模型的控制方法及仿真 62 高階模型 62 帶積分的被控對象 64 帶延時對象 67 本章小結 70第5章 分數階PID控制器在多電機同步追蹤系統(tǒng)中的應用 71 引言 71 系統(tǒng)分析 72 多軸控制系統(tǒng)結構 72 帶延時系統(tǒng)的同步性設計 73 延時補償 73 時間延時的同步 74 控制器設計方法 75 內環(huán)控制器設計 75 外環(huán)控制器設計方法 76 控制器參數整定流程 79 系統(tǒng)仿真 79 本章小結 83第6章 基于LabVIEW 的分數階控制系統(tǒng)實驗平臺 84 引言 84 實驗系統(tǒng)介紹 84 系統(tǒng)設計 86 幾種控制器的實驗驗證 88 FOPD控制器實現 88 FO[PD]控制器實現 89 性能比較研究 90 本章小結 91結論與展望 93參考文獻 95致謝 107附錄A 攻讀博士學位期間完成的學術研究論文 108附錄B 攻讀學位期間主持和參與的科研課題 109插圖索引 Leibniz與L’Hospital對分數階微積分的探討 1圖 14圖 15圖 15圖 FOPD控制系統(tǒng)Bode圖 18圖 FO[PD]控制系統(tǒng)Bode圖 19圖 ，和L的關系 22圖 ，和L的關系 22圖 ，和L的關系 22圖 ，和L的關系 23圖 ，和L的關系 23圖 IOPID系統(tǒng)的Bode圖 24圖 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應 29圖 FO[PD]控制系統(tǒng)階躍響應 29圖 IOPID控制系統(tǒng)階躍響應 30圖 FOPD、FO[PD]、IOPID三種控制器的比較 31圖 FOPI開環(huán)控制系統(tǒng)Bode圖 31圖 FOPI控制系統(tǒng)階躍響應 32圖 FO[PI]控制系統(tǒng)Bode圖 32圖 FO[PI]控制系統(tǒng)階躍響應 33圖 FOPI、FO[PI]、IOPID 三種控制器階躍響應比較 33圖 RC濾波網絡 35圖 的解 42圖 T=1 時的Bode圖 42圖 T=1時FO[PD]的階躍響應 43圖 T= 43圖 T= 44圖 不同時間常數階躍響應的比較 44圖 ITAE優(yōu)化后PID控制系統(tǒng)階躍響應 45圖 ，和之間的關系 46圖 Quanser實驗平臺 47圖 Quanser系統(tǒng)模塊結構圖 47圖 1號電機階躍響應曲線 48圖 2號電機階躍響應曲線 49圖 3號電機階躍響應曲線 49圖 49 開關加人工延時（）的反饋控制系統(tǒng)框圖 61 對于的FOPI系統(tǒng)Bode圖 61 的FO[PI]系統(tǒng)Bode圖 63 對于在增益變化及負載擾動下FOPI控制器階躍響應 63 對于在增益變化及負載擾動下FO[PI]控制器階躍響應 64 對于利用FOPI和FO[PI]控制器的階躍響應比較圖 64 對于的FOPI系統(tǒng)Bode圖 65 對于的FO[PI]系統(tǒng)Bode圖 65 對于在增益變化及負載擾動下FOPI控制器階躍響應 66 對于在增益變化及負載擾動下FO[PI]控制器階躍響應 66 對于利用FOPI和FO[PI]控制器的階躍響應比較圖 67 對于的FOPI系統(tǒng)Bode圖 67 對的FO[PI]系統(tǒng)Bode圖 68 對于在增益變化及負