【正文】 nction which can be expanded in a Fourier series.167。that is, the Fourier polynomialsConverge to f(x) with increasing n. Moreover, we shall prove: Theconvergence of the Fourier series is uniform in every closed interval in which the function is continuous. We shall forst give the proof for the case of continuous f(x) in which discontinuities occur only in the derivative f’(x). If the expansion coefficients of f’(x) are denoted by and , we have，Since f’(x) is piecewise continuous, we have the pleteness relation。1 and from the orthogonality of the trigonometric functions that the best approximation in the mean of degree n is obtained by the socalled Fourier polynoialWith （15） The polynomial may also be written in the more concise form （15’） Is virtue of the relation . It is not a priori certain that these polynomials, which yield the best approximation in the mean, also yield a uniform approximation to the function—. it is not certain that the inginite series converges uniformly and represents the function f(x). This question is the central problem of the theory of Fourier series. For the sake of convenience we shall suppose that the function f(x) is initially defined only in the interval ,and the continued periodically beyond this interval by the functional equation . Furthermore, at each jump discontinuity, we requier f(x) to be equal to the arithmetic mean of the “righthand” and “l(fā)efthand”limits, and (h0), respectively。在此，對郭懷明老師表示特別的感謝！英文原文167。從選題到到資料的收集、資料的閱讀、論文內(nèi)容的研究探討，一直到最終完成論文，郭老師自始至終都對我進行了細(xì)心的指導(dǎo)。 figure(k+1) surfc(X,Z,qiuk) end參考文獻[1]， of Mathematical Physics（Volume I），Wiley,1989[2]：北京航天航空大學(xué)出版社，2003[3]，：高等教育出版社，1998[4]侯朝煥，閻世尊，：海洋出版社，1990[5]（卷I），：科學(xué)出版社，2007[6]：清華大學(xué)出版社，2004致謝 本論文是在導(dǎo)師郭懷明老師的悉心指導(dǎo)下完成的。 Bes=sqrtR.*besselj(k,R)。⑥：清華大學(xué)出版社，、57figure(1)surfc(X,Z,qiu)for k=1:3 Leg=legendre(k,cos(Q))。 Bes0=sqrtR.*besselj(0,R)。 sqrtR=sqrt(pi/2./R)。)axis([0 3 0 2 0 10])：⑥ [X,Z]=meshgrid(5::5)。endfigure(2)meshc(X,Z,Uin)hold onmeshc(X,Z,Uout)xlabel(39。 Uin=Uin+uin。 uin=Rin.^l.*Legl。 for l=1:20 Leg=legendre(l,cos(Q))。Uin=1。Rout=R。figure(1)meshc(X,Z,u)axis([0 3 0 2 0 10])Rin=R。R(R==1)=NaN。：⑥[X,Z]=meshgrid((0::3),(0::2))。 figure(3)imshow(abs(y))。figure(1)imshow(x1)。new_im=ifft2(new_freq,M,N)。filt_im=freq_im.*filt。 freq_im=fftshift(freq_im)。end。 end。 for i=1:M, for j=1:N, x(i,j)=x1(i,j)+100*sin(1*i+1*j)。[M,N]=size(x1)。D0=50。)。figure(1)plot(t,y)axis([0 8 8])figure(2)plot(freq,2*abs(Y)/501)axis([0 500 0 2])：a=imread(39。Y = fft(y)。x = sin(2*pi*50*t) + *sin(2*pi*120*t)+2*sin(2*pi*70*t)。LineWidth39。b.39。LineWidth39。r39。y1=abs(sin(tao*x1/2)./x1/pi)/pi。n=fix(length(Y)/2)。 endendY=fft(y)。amp。for k=1:N+1。T=2。H=1。b39。MarkerFaceColor39。bo39。x=0:20。for k=1:20 y(k)=abs((H*sin((pi*k*tao)/T))/(pi*k))。T=2。最終，總結(jié)出了它們解決實際問題的思路主體在于將復(fù)雜的問題分解化，將糾纏的問題分離化。通過MatLab可視化，我們直觀而形象地看到了它們各自的特征、特點，更好的理解了它們的數(shù)學(xué)、物理意義。六、總結(jié)及結(jié)論以上綜述了傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)；實現(xiàn)了它們的MatLab可視化；舉例討論了它們在實際各方面的應(yīng)用。而另一方面，我們從傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級數(shù)的實際應(yīng)用例子中可以明顯地看到它們在解決實際問題時的思路無外乎以下兩點：（1）將復(fù)雜的問題分解為若干簡單的問題求解（2）將糾纏的問題通過變換分離開來如果我們拋開傅里葉級數(shù)法、傅里葉變換本身，而僅從這兩點出發(fā)，我們便可以看到傅里葉級數(shù)法、傅里葉變換的更深層次的意義。五、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的意義眾所周知，我們一直將傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、FFT看作是向頻譜空間的變換，這從其三角級數(shù)的形式本身可以看出，當(dāng)然對于復(fù)數(shù)形式，我們也可以借助量子力學(xué)解釋，其展開函數(shù)正是動量的本征函數(shù)，因此傅里葉變換正是向動量空間的變換，而我們知道動量空間實際上與頻率空間是一致的。由相應(yīng)的微分方程理論可以得到各分波散射波幅的表達式，疊加得到散射波幅，進而求出散射截面的表達式。以及波函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件其中為散射波幅，依照分波法的思路，它也可對應(yīng)寫為各分波散射波幅的疊加。同樣的，我們將波函數(shù)也做相同的級數(shù)展開，寫為其中在時就是。分波法的思路看起來與傅里葉級數(shù)法解微分方程的思路很相似。下面就通過一個例子來看看廣義傅里葉變換是如何應(yīng)用于分波法的：：廣義傅里葉級數(shù)用于分波法⑤處理中心力場下粒子的散射問題。廣義傅里葉級數(shù)同樣適用于求解微分方程，只是其適用的方程與連續(xù)傅里葉變換不同罷②：北京航天航空大學(xué)出版社，2003③，：高等教育出版社，了。勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式為 將母函數(shù)與其勒讓德級數(shù)形式用mesh()函數(shù)分別作圖如下，其中勒讓德級數(shù)取到級次（作圖程序見附錄） 勒讓德函數(shù)的母函數(shù)圖象 勒讓德級數(shù)取至的圖像從圖像對比中可以看出級數(shù)形式與母函數(shù)相一致，只是在r=1附近有些不同，這是由于對級數(shù)截斷至造成的，隨截斷級次的增大，級數(shù)圖像將與母函數(shù)圖象越來越一致。 從數(shù)學(xué)物理方程的知識可以知道勒讓德函數(shù)、貝賽爾函數(shù)都有自己的母函數(shù)，而這些母函數(shù)可以表達為其對應(yīng)的廣義傅里葉級數(shù)的形式。③，：高等教育出版社，、30333當(dāng)然，對于不同的廣義傅里葉函數(shù)，具體形式也不盡相同，如k的取值范圍、收斂范圍、收斂條件等。四、廣義傅里葉級數(shù)的可視化及應(yīng)用 廣義傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)依據(jù)廣義傅里葉級數(shù)指勒讓德函數(shù)、連帶勒讓德函數(shù)、貝賽爾函數(shù)等，它們與傅里葉級數(shù)一樣都是一組正交完備的函數(shù)組，可以用于對函數(shù)的展開③。解這些微分方程便可得到原方程的傅里葉級數(shù)形式的解。因此可將方程的兩側(cè)同時以函數(shù)系 為基底做傅里葉余弦級數(shù)展開，得到級數(shù)形式的方程，其中是方程的解的第n個傅里葉級數(shù)展開系數(shù)，、分別是函數(shù)、的第n個傅里葉展開系數(shù)。為了更直觀的體會傅里葉級數(shù)法解微分方程中的應(yīng)用，我們用一個一維振動問題為例來看一下：：一維振動方程定解問題：③ 從物理實際上看，這個方程可以對應(yīng)為一個受迫振動問題，方程右側(cè)實際上就是振動源的振動形式。傅里葉級數(shù)法的基本思想是：在已知泛定方程在給定邊界條件下的本征函數(shù)解系的前提下，將方程兩側(cè)展開為相應(yīng)的傅里葉級數(shù)的形式，由本征函數(shù)系的正交性，對比系數(shù)得到一系列的關(guān)于解的各級傅里葉展開系數(shù)的相對簡單的微分方程，通過結(jié)合初始條件對這一系列微分方程進行求解得出解的各級傅里葉展開系數(shù)，從而確定原問題的解。傅里葉級數(shù)法適用于求解定義在有限區(qū)域內(nèi)的問題，而傅里葉變換法則適用于求解定義在無限區(qū)域上的問題。這也從側(cè)面反映出了傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的緊密聯(lián)系。我們還可以做一些拓展，來看看傅里葉級數(shù)與傅里葉