【正文】 第3章 主成分與因子分析在黑龍江省 城市經(jīng)濟(jì)水平研究中的應(yīng)用對黑龍江省12個地級市選取10個主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)[17]（見表31），國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）、工業(yè)總產(chǎn)值（億元）、人均GDP（元）、工業(yè)企業(yè)單位數(shù)（個）、固定資產(chǎn)投資（億元）、社會消費(fèi)品零售總額（億元）、財(cái)政收入（萬元）、金融機(jī)構(gòu)存款年底余額（億元）、年末人口數(shù)（萬人）、財(cái)政支出（萬元）。想要在以后分析中用因子變量代替原有變量進(jìn)行數(shù)據(jù)建模，就要有因子得分，或利用因子變量對樣本進(jìn)行分類或評價等研究，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)降維和簡化的目標(biāo)[16]。因子分析的最后一步是計(jì)算因子得分。這種變換因子載荷的方法稱為因子軸的旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)的方法有很多。 因子旋轉(zhuǎn)與因子得分建立因子分析數(shù)學(xué)模型的目的不僅要找出公共因子以及對變量進(jìn)行分組，更重要的是要知道每個因子的意義，以便對實(shí)際問題作出科學(xué)的分析，如果每個公共因子的涵義不清，不便于進(jìn)行實(shí)際背景的解釋，這時根據(jù)因子載荷陣的不唯一性，可對因子載荷陣實(shí)行旋轉(zhuǎn)即用一個正交陣右乘使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡化，便于對公共因子進(jìn)行解釋。因此用統(tǒng)計(jì)學(xué)的術(shù)語應(yīng)該叫做權(quán)，但由于歷史的原因，心理學(xué)家將它叫做載荷，即表示第個變量在第個公共因子上的負(fù)荷，它反映了第個變量在第個公共因子上的相對重要性。假定因子模型中，各個變量以及公共因子、特殊因子都已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)化（均值為0，方差為1）的變量[15]。因子分析的目的就是通過模型以代替，由于，從而達(dá)到簡化變量維數(shù)的愿望。 因子分析的求解方法和數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型（正交因子模型）型因子分析數(shù)學(xué)模型[13]簡記為且滿足：i) ；ii) 即和是不相關(guān)的；iii) 即不相關(guān)且方差皆為1. 即不相關(guān)，且方差不同。如果它的值越大。因子性質(zhì)主要表現(xiàn)變量之間關(guān)聯(lián)度上，根據(jù)關(guān)聯(lián)度可以劃分為特殊因子和公共因子，利用因子分析，減少分析變量個數(shù)，通過對變量的相關(guān)關(guān)系探測，將原始變量進(jìn)行分類。 因子分析的性質(zhì)因子分析是主成分分析的推廣，也是一種把多個變量化為少數(shù)幾個綜合變量的多變量分析方法，其目的是用有限個不可觀測的隱變量解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系[11]。然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同的變量相關(guān)性較低。因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，它也是將具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個因子，以再現(xiàn)原始變量與因子的相互關(guān)系，同時根據(jù)不同因子還可以對變量進(jìn)行分類，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法。后來，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，才使因子分析的理論研究和計(jì)算問題，有了很大的進(jìn)展。 因子分析的內(nèi)容 因子分析原理和基本思想1904年，Charles Spearman發(fā)表一篇著名論文《對智力檢驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析》視為因子分析的起點(diǎn)[10]。4. 寫出主成分將原變量轉(zhuǎn)換成主成分的線性組合，且具有正交特征，綜合成為相應(yīng)，而基本信息量保持不變。 主成分分析的基本步驟設(shè)原始資料矩陣為：(1) 將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的目的在于消除原始數(shù)據(jù)各指標(biāo)的量綱不同，公式如下： (28)其中為每一列指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)值；為每一列指標(biāo)的均方差。這里要說明兩點(diǎn)：一個是數(shù)學(xué)模型中為什么作線性組合？基于兩種原因：① 數(shù)學(xué)上比較容易處理② 在實(shí)踐中效果很好。 數(shù)學(xué)模型設(shè)有個樣品，每個樣品觀測項(xiàng)指標(biāo)（變量）：，得到原始數(shù)據(jù)資料庫： (26)其中， 。由相關(guān)陣求主成分的過程與主成分個數(shù)的確定準(zhǔn)則實(shí)際上是與由協(xié)方差陣出發(fā)求主成分的過程與主成分個數(shù)的確定準(zhǔn)則是一致的。(1) 從協(xié)方差矩陣出發(fā)求解主成分為[8]：設(shè)矩陣，將的特征值依大小順序排列，不妨設(shè)為矩陣各特征值對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，則對任意向量有 所以我們把的協(xié)方差矩陣的非零特征值，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征像量，分別作為系數(shù)向量分別稱為隨機(jī)向量的第一主成分，第二主成分,…，第主成分。在資料所含的變量個數(shù)、樣品數(shù)及累計(jì)貢獻(xiàn)率固定的前提下，的比值越小，則說明此資料用主成分分析越合適。(5) 前個主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率是(()100％。信息量的多少，用變量的方差來度量。一般情況，個變量組成維空間，個樣品就是維空間的個點(diǎn)，對元正態(tài)分布變量來說，找主成分的問題就是找維空間中橢球體的主軸問題。這樣一來，二維可以降為一維了，只取第一個綜合變量即可。從上圖還容易看出二維平面上的個點(diǎn)的波動（可用方差表示）大部分可以歸結(jié)為在軸上的波動，而在軸上的波動是較小的。設(shè)有個樣品，每個樣品有個變量記為，它們的綜合變量記為。 主成分的幾何意義從代數(shù)學(xué)的點(diǎn)看，成分就是個變量的一些特殊的線性組合[6]，在幾何上這些線性組合正是把構(gòu)成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的新坐標(biāo)系，新坐標(biāo)軸使之通過樣品變差最大方向（或說具有最大的樣品方差）。不難想像這些主成分之間不僅不相關(guān)，而且他們的方差一次遞減。通常情況下將轉(zhuǎn)化生成的綜合指標(biāo)稱為主成分，原始變量的線性組合就是每個主成分，且各個主成分之間是各不相關(guān)的，這就使得主成分比原始變量具有更優(yōu)越的性能[3]。Hotelling在1933年將這個概念推廣到隨機(jī)變量。最后對論文進(jìn)行總體的評價，指出本文的不足，以期待改進(jìn)的新方案。然后通過學(xué)習(xí)與查閱相關(guān)資料找到黑龍江省12個地級市的10個具有代表性指標(biāo)，運(yùn)用spss統(tǒng)計(jì)分析軟件對這些指標(biāo)進(jìn)行主成分分析和因子分析得到特征值、方差貢獻(xiàn)率及公共因子等相關(guān)數(shù)據(jù)。A)、品牌形象和特性研究、服務(wù)質(zhì)量調(diào)查、個性測試、形象調(diào)查、市場劃分識別、顧客、產(chǎn)品和行為分類。Analysis)就是尋找這些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?，以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別[4]。因子分析的基本目的就是用少數(shù)幾個因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系，即將相關(guān)比較密切的幾個變量歸在同一類中，每一類變量就成為一個因子（之所以稱其為因子，是因?yàn)樗遣豢捎^測的，即不是具體的變量），以較少的幾個因子反映原資料的大部分信息。20世紀(jì)30年代，瑞典心理學(xué)家Thurstone打破了流行的單因子理論假設(shè)，經(jīng)長期實(shí)踐研究，他大膽提出了多元因子分析(MultipleFactorAnalysis)理論。隨著試驗(yàn)的深入，大量個體樣本被分析研究，證明了Spearman的單一智能因子理論是不充分的。因子分析法是兩種分析形式的統(tǒng)一體，即驗(yàn)證性分析和純粹的探索性分析。這樣我們就對原始的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類歸并，將相關(guān)比較密切的變量分別歸類，歸結(jié)多個綜合指標(biāo)，這些綜合指標(biāo)互不相關(guān)，即它們所綜合的信息互相不重疊。然而，這種方法不僅需要巨大的工作量，并且可能會因?yàn)樽兞恐g存在相關(guān)性而增加了我們研究問題的復(fù)雜性。在國內(nèi)運(yùn)用主成分分析的方法對人口、教育、地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面研究，都取得了一定的成果。同時，主成分作為一種優(yōu)秀的降維提取主要信息的手段，先后在海洋學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地球物理學(xué)、資源科學(xué)等中都得到了一定程度的應(yīng)用。在國外運(yùn)用主成分分析的方法對肝素鈉、肝素鈣等低分子肝素相關(guān)產(chǎn)品的銷售額數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，形成新的指標(biāo)體系，而后應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法建立模型，評價模型的擬合能力。主成分所關(guān)心的問題，是通過一組變量的幾個線性組合來解釋這組變量的方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)，它的一般目的是數(shù)據(jù)的壓縮以及數(shù)據(jù)的解釋。主成分分析正是適應(yīng)這一要求產(chǎn)生的，是解決這類題的理想工具。在實(shí)際問題研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，我們必須考慮眾多影響因素。信息的大小通常用離差平方和或方差來衡量。 主成分分析和因子分析的發(fā)展及應(yīng)用 主成分分析的發(fā)展及應(yīng)用主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)。因此，現(xiàn)有的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r研究對將來的發(fā)展有著非常重要的指導(dǎo)意義。區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展不僅意味著該區(qū)域國民經(jīng)濟(jì)規(guī)模的擴(kuò)大，更意味著經(jīng)濟(jì)和社會生活素質(zhì)的提高。區(qū)域經(jīng)濟(jì)是在一定區(qū)域內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的內(nèi)部因素與外部條件相互影響而形成的綜合性經(jīng)濟(jì)概念，它受到該區(qū)域的自然條件、資源開發(fā)和利用狀況、社會經(jīng)濟(jì)條件以及經(jīng)濟(jì)政策等各種因素的制約和影響。而目前