【正文】 序列,使得， （）其中。那么對任意，有 ()另外，我們知道在雙正交基中，如果的對偶就是自身，則雙正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，我們可以把標(biāo)準(zhǔn)正交基看作雙正交基的特殊情況。定義小波函數(shù)：，使得構(gòu)成了的Riesz基構(gòu)成了的基，構(gòu)成了的Riesz基，滿足雙正交的含義如下：，空間序列是在中補(bǔ)空間；是在中補(bǔ)空間。為了解決這個問題，我們可以適當(dāng)放寬正交性的要求，構(gòu)造出雙正交基，使得小波基函數(shù)具有很多重要特性，應(yīng)此下面便引入雙正交小波概念。正交小波變換在數(shù)學(xué)上具有良好的正規(guī)性，他的存在使得信號的正交分解和重構(gòu)都極為簡單。首先從給定的多尺度分析出發(fā)，根據(jù)（），將空間進(jìn)行如下分解，即 （）則稱為正交小波，稱為正交小波基函數(shù)。下面，將從多分辨分析的角度引入正交小波基和正交小波變換。對偶尺度函數(shù)的構(gòu)造過后再設(shè)法構(gòu)造出小波函數(shù)及其對偶的小波函數(shù)，這方面內(nèi)容將在后文提出。由式（）、（）和（）可以得到 （）以及 （）利用（）可以得到 。根據(jù)MRA的定義，若要構(gòu)造雙正交小波，關(guān)鍵問題就是構(gòu)造對偶的尺度函數(shù)，尺度函數(shù)（）已經(jīng)給出，其對偶函數(shù)滿足如下形式： （）準(zhǔn)備條件如下：設(shè)滿足： ，； ，和可以轉(zhuǎn)化為用與的條件來刻劃，可證明，等價于 （）若，和滿足： ；， （）則與以及與彼此正交，滿足此條件的小波即為雙正交小波。若,且，則。同時，我們記。對于上面提出的問題，假設(shè)兩尺度序列，則我們可以通過求解兩尺度方程 （）或其傅立葉變換 （）來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。[10]可以得到正交尺度函數(shù)的構(gòu)造步驟：步驟尋找滿足尺度方程（）的尺度系數(shù)；并計(jì)算濾波器；步驟驗(yàn)證是否滿足和；步驟計(jì)算，通過Fourier逆變換求出；步驟驗(yàn)證矩陣A的特征值1是否非退化；如果是非退化的，則即為所求的正交尺度函數(shù)，其中A由構(gòu)造， （）為了構(gòu)造尺度函數(shù)，希望由兩尺度方程的解來得到滿足多分辨率分析的尺度函數(shù)，最終構(gòu)造出小波函數(shù)。算法的分解部分如下：假定已知和，則有因而 = （）或者寫成 （）重構(gòu)算法也是一個樹狀算法，而且與分解算法用的是同樣的濾波系數(shù)。包含了和之間的信息差。這就是Mallat算法的分解過程。類似地 （）其中， （）將上面（）和（）簡化，也是為了方便處理： （） （）其中，H、G是從到自身的有界算子： （） （）對這個過程進(jìn)行一次迭代，由于，有 （） （） （）因此得到 （）從而驗(yàn)證了 （）與j無關(guān)。首先得計(jì)算相對于函數(shù)f的迭代和相對應(yīng)于兩個迭代層次的差值。正交小波的概念在下一小節(jié)介紹，而現(xiàn)在要做的是把初始序列分解到相應(yīng)于不同頻帶的層。設(shè)原始信號序列{ }的分辨率和尺度均為1，它的分解過程是：信號經(jīng)過低通濾波器后再進(jìn)行抽取去1/2，得到分辨率和尺度均減半的信號逼近()；另一方面，經(jīng)過高通濾波器后再抽取去，得到在減半的分辨率和尺度下的細(xì)節(jié)信息。 一維DWT的塔式Mallat分解與重構(gòu)信號的小波分解和重構(gòu)可通過子帶濾波的形式實(shí)現(xiàn)。 Mallat算法Mallat提出了信號的塔式多分辨率分解與重構(gòu)算法，即Mallat算法。⑥ 基小波函數(shù)和相關(guān)，也就是滿足小波函數(shù)的雙尺度方程（）。④ 尺度函數(shù)與基小波函數(shù)正交，即有。② 能量歸一化條件。由以上論述，分解過程如下圖： 的多分辨分解雙尺度方程（）和（）表明了需要構(gòu)造的小波基可由尺度函數(shù)的平移和伸縮的線性組合獲得，這種構(gòu)造方法歸結(jié)為濾波器和的設(shè)計(jì)。由，所以可以用子空間的基函數(shù)展開，令展開系數(shù)為，則 （）這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。設(shè)以表示分解中的低頻部分，表示分解中的高頻部分，則是在中的正交補(bǔ)，即= （） （）顯然= （）則多分辨率分析的子空間可以用有限個子空間來逼近，即有 （）空間序列具有以下性質(zhì)：① ② ③ ，當(dāng)時，對任意和一樣，需要找出一個特定的數(shù)，使得對每個，函數(shù)系構(gòu)成的空間的規(guī)范正交基，其中?？梢宰C明，存在函數(shù)，使它在整數(shù)平移系構(gòu)成的規(guī)范正交基，稱為尺度函數(shù)。④ 平移不變性：平移不變性是指在同一子空間中波形平移后不變化，即。③ 伸縮性：。下面給出多分辨率分析（MRA）的定義：平方可積空間中的一系列閉子空間序列稱為的一個多分辨率分析(或多分辨率逼近、多尺度分析)，序列包括如下一些性質(zhì)：① 函數(shù)空間序列，j∈Z的單調(diào)性：即,。 多分辨率分析只是對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮。正是有了多分辨分析，正交小波基的構(gòu)造不再僅僅依賴于數(shù)學(xué)技巧?？傊?，小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)和工程界引起了越來越多的關(guān)注和重視，尤其在工程應(yīng)用領(lǐng)域，特別在信號處理、圖像處理、模式識別等領(lǐng)域被認(rèn)為是近年來在工具和方法上研究的重大突破。小波分析亦可以檢測出許多其他分析方法忽略的信號特性。傳統(tǒng)的傅里葉變換得到的圖形為平坦的頻譜上的兩個尖峰。注意，a越大，相當(dāng)頻率越低；③ 適當(dāng)?shù)倪x擇基小波，使得在時域上為有限支撐，在頻域上也比較集中，就可以使得WT在時頻區(qū)域都具有表征信號局部特征的能力，因此有利于檢測信號的瞬態(tài)和奇異點(diǎn)?？梢源旨凹?xì)地逐步觀察信號；② 可以看成用基本頻率特性為的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波。因此通過小波變換能有效地檢測局部瞬變信號，它的窗口大小固定但其形狀可改變，它是一種時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡。波動性表明是“波，衰減性要求是有限寬度的，即具有局部性，這種局部性稱為“小”，故稱為“小波”，這也是前文“小波”得名的原因。只有滿足允許條件，小波變換才存在逆變換： ()同時，能用作母小波的函數(shù)必須滿足，否則會在處趨于無窮大。f(t)的內(nèi)積型小波變換為： ()其中波函數(shù)相當(dāng)于一個系統(tǒng)，對信號進(jìn)行小波變換即為將該系統(tǒng)作用于信號，也即信號通過小波函數(shù)確定的系統(tǒng)。同時它也與窗口傅立葉變換類似，它是將小波函數(shù)作為窗函數(shù)的一種積分變換。小波變換(Wavelet Transform)是80年代后期在傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，具有嚴(yán)格的理論模型。由小波函數(shù)的表達(dá)式可以看出，小波函數(shù)具有尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b兩個參數(shù)，所以函數(shù)一經(jīng)小波變換，就意味著將一個時間函數(shù)投影N維的時間一頻率平面上，這樣就有利于提取信號函數(shù)的某些本質(zhì)特征。式(2. 1)稱為“允許條件”。傅里葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的。它有兩個特點(diǎn)：一個是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集；二是正交交替的“波動性”，也即直流分量為零。2．基于小波變換的弱小目標(biāo)圖像處理本章內(nèi)容主要闡述了小波變換的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)及其特性，之后在此基礎(chǔ)上引入了小波基構(gòu)造概念，然后使用兩種方法構(gòu)造了雙正交尺度函數(shù)和構(gòu)造了一個雙正交小波基，接著介紹小波變換去噪的方法。闡述了小波變換的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)及其特性，之后在此基礎(chǔ)上引入了尺度函數(shù)和小波基構(gòu)造以及雙正交小波提升的概念并構(gòu)造了兩個雙正交小波基；第三章是本文的重點(diǎn)之二，分析了弱小目標(biāo)檢測預(yù)處理的傳統(tǒng)方法，最后提出一個利用雙正交小波基檢測到鎂溶液第一氣泡微小目標(biāo)的方法；第四章結(jié)論。本文的主要內(nèi)容是進(jìn)行弱小運(yùn)動目標(biāo)的檢測，包括預(yù)處理算法的研究、雙正交小波的構(gòu)造和利用多幀序列圖像實(shí)現(xiàn)真實(shí)目標(biāo)的確認(rèn)。 本文所做的工作及文章的安排小波變換理論和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展實(shí)現(xiàn)了眾多弱小目標(biāo)的各種背景下的檢測，利用小波變換進(jìn)行目標(biāo)檢測是利用小波變換的多分辨率特點(diǎn)，降低圖像中干擾信息的干擾。提出了具有線性相位的仿酋M帶對稱正交小波及其晶格實(shí)現(xiàn)算法。運(yùn)算量比Mallat算法減少30%左右，根據(jù)提升格式的小波分解可以設(shè)計(jì)出無損表示信息的整數(shù)小波變換。(2) 小波變換的研究現(xiàn)狀1989年Mallat提出了著名的小波分解算法，使得信號的小波變換可以通過卷積運(yùn)算，因而可以通過DFT快速算法來實(shí)現(xiàn)，但考慮到實(shí)際應(yīng)用中的小波變換大都具有緊支集，且一般不超過20，因此DFT算法的快速特性就不能得到充分的展示。因此，如何構(gòu)造新的小波變換使得圖像質(zhì)量達(dá)到最優(yōu)，以及如何提高小波分解的速度減小存儲空間并設(shè)計(jì)低存儲、高保真的小波編碼方法是目前要努力的方向。這些理論成果目前已經(jīng)在模式識別、圖像處理技術(shù)、圖像壓縮、數(shù)字水印、去噪等領(lǐng)域發(fā)揮重要的作用。從而使得小波變換廣泛應(yīng)用于信號處理的領(lǐng)域。在應(yīng)用方面，Mallat在1989年提出了多分辨分析的思想將小波理論和信號分解、重構(gòu)緊密結(jié)合，提出了著名的Mallat算法。20世紀(jì)80年代初期，法國工程師Morlet等人為克服短時傅立葉變換的缺陷而引入了具有小波變換思想的一種變換，并應(yīng)用于石油地質(zhì)勘探，取得成功。因此，短時傅立葉變換比較適合分析平穩(wěn)信號，對于非平穩(wěn)信號，尤其是當(dāng)波形變換劇烈時，主頻為高頻，要求較高的時間分辨率，而波形變換比較平穩(wěn)時，主頻為低頻，則要求較高的頻率分辨率。其表達(dá)式為 （）其中“*”表示復(fù)共軛，為窗口函數(shù)，是進(jìn)入分析的函數(shù)。其思想是：假定任意一個非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)一個短時時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)或者是偽平穩(wěn)的，并移動分析窗函數(shù)，要使得在不同的有限時間域內(nèi)是平穩(wěn)的信號，從而計(jì)算出不同時刻內(nèi)的功率譜。因此，傅立葉變換無法實(shí)現(xiàn)表述信號的時頻局部性質(zhì)，而信號的時頻局部特征是我們研究的大多數(shù)的非平穩(wěn)信號的最關(guān)鍵性質(zhì)。 小波分析的發(fā)展歷程和現(xiàn)狀(1) 小波分析的發(fā)展歷程信號分析一直以來不斷被人們發(fā)展創(chuàng)新的，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉變換基礎(chǔ)之上的。將雷達(dá)和圖片所獲得的弱小目標(biāo)運(yùn)動信息相融合，也可以實(shí)現(xiàn)弱小目標(biāo)的識別。目前弱小目標(biāo)識別研究的重點(diǎn)在如何將真實(shí)弱小目標(biāo)和伴隨誘餌分離。將真實(shí)弱小目標(biāo)從中識別出來的算法與弱小目標(biāo)檢測在算法上有很多類似之處。但時域?yàn)V波算法沒有充分利用弱小目標(biāo)與背景在空間上的特征差別，而且算法要求圖像幀速快，否則目標(biāo)在某像素點(diǎn)只能引起幅值突跳，無法可靠地將目標(biāo)與噪聲進(jìn)行區(qū)分。時域?yàn)V波算法是利用背景雜波、噪聲及目標(biāo)像素點(diǎn)在時間上有著不同的特征來檢測弱小目標(biāo)的。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是避免投影法因SNR的損失造成的處理能力下降，大大減少了三維搜索檢測過程中的數(shù)據(jù)量和存儲量，利于硬件實(shí)時處理；缺點(diǎn)是在噪聲較強(qiáng)和目標(biāo)幀間位移較大時，檢測性能下降得很厲害。投影變換方法是通過某種形式的投影變換或邏輯運(yùn)算，先將三維空間軌跡檢測轉(zhuǎn)化為二維平面軌跡檢測問題，然后對二維平面內(nèi)的軌跡進(jìn)行搜索，實(shí)現(xiàn)能量積累和門限處理。但目標(biāo)速度未知時，計(jì)算過程中所需速度窗參數(shù)無法確定，而將速度的參數(shù)放寬時，計(jì)算量將迅速增大，并導(dǎo)致算法檢測性能降低，同時對目標(biāo)軌跡進(jìn)行反向跟蹤時需要較大的存儲量。該方法依據(jù)最大概率準(zhǔn)則設(shè)定一個評價函數(shù)，對評價函數(shù)作了一定階段的遞推后，找到所有可能的判斷，得到可能目標(biāo)運(yùn)動軌跡，然后對這些軌跡進(jìn)行直線擬合，剔除非直線軌跡，并把同一目標(biāo)產(chǎn)生的軌跡合并，得到檢測結(jié)果。(3) 動態(tài)規(guī)劃方法。MSHT 是一種高效算法，計(jì)算量小，存儲量少，具有同時檢測出多個作不同方向直線運(yùn)動的目標(biāo)的能力。多級假設(shè)檢驗(yàn)(MSHT)是假設(shè)目標(biāo)局部地作勻速直線運(yùn)動。缺點(diǎn)是需要大量的匹配濾波器對目標(biāo)進(jìn)行檢測，計(jì)算量大，實(shí)時性較差，而且只適用于作勻速直線運(yùn)動的固定大小目標(biāo)。其原理是：針對目標(biāo)所有可能的運(yùn)動情況設(shè)計(jì)多個濾波器，從中選出輸出信噪比最大的濾波器，確定目標(biāo)位置和運(yùn)動軌跡。主要方法如下：(1) 三維匹配濾波器方法。依據(jù)上述性質(zhì)，可對多幀檢測圖像序列進(jìn)行流水線檢測，以檢測出弱小目標(biāo)。當(dāng)傳感器以適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率進(jìn)行采樣時，目標(biāo)在相鄰幀(場)間不可能有大的跳躍，其信號強(qiáng)度也不會突變。多幀關(guān)聯(lián)方法主要是“流水線”法。信息融合則是通過關(guān)聯(lián)不同傳感器的判決結(jié)果，使多傳感器的判決的可信度隨著各個傳感器證據(jù)的不斷積累而不斷提高，從而在融合各個傳感器信息的基礎(chǔ)上提高了系統(tǒng)判決的可信度，克服了單個傳感器由于對目標(biāo)提供的信息太少而使得目標(biāo)識別的可靠性變差的缺陷，最終從圖像序列中提取出弱小目標(biāo)。目標(biāo)的提取主要分為閾值分割和信息融合兩種。對