【正文】 ,節(jié)點(diǎn)電壓相量及復(fù)數(shù)導(dǎo)納可表示為: (39)將以上二關(guān)系式代入上式中,展開并分開實(shí)部和虛部。事實(shí)上，除了平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式在迭代過(guò)程中沒(méi)有約束作用以外，其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以列出兩個(gè)方程式。 牛頓拉夫遜法潮流求解過(guò)程以下討論的是用直角坐標(biāo)形式的牛頓—拉夫遜法潮流的求解過(guò)程。解決這個(gè)問(wèn)題的辦法可以用高斯法迭代1~2次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。對(duì)于正常運(yùn)行的系統(tǒng)，各節(jié)點(diǎn)電壓一般均在額定值附近，偏移不會(huì)太大，并且各節(jié)點(diǎn)間的相位角差也不大，所以對(duì)各節(jié)點(diǎn)可以采用統(tǒng)一的電壓初值(也稱為平直電壓)，如假定： 或 (36) 這樣一般能得到滿意的結(jié)果。牛頓法的可靠收斂取決于有一個(gè)良好的啟動(dòng)初值。牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對(duì)于對(duì)以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法也能可靠收斂。牛頓潮流算法突出的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，若選擇到一個(gè)較好的初值，算法將具有平方收斂特性，一般迭代4~5次便可以收斂到一個(gè)非常精確的解。有上式可見，牛頓法的核心便是反復(fù)形式并求解修正方程式。接著就從出發(fā)，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程。對(duì)于非線性代數(shù)方程組： 即 (31)在待求量x的某一個(gè)初始估計(jì)值附近，將上式展開成泰勒級(jí)數(shù)并略去二階及以上的高階項(xiàng)，得到如下的經(jīng)線性化的方程組： (32)上式稱之為牛頓法的修正方程式。其要點(diǎn)是把非線性方程式的求解過(guò)程變成反復(fù)地對(duì)相應(yīng)的線性方程式進(jìn)行求解的過(guò)程。實(shí)際電力系統(tǒng)的潮流技術(shù)那主要采用牛頓拉夫遜法。對(duì)現(xiàn)有電力系統(tǒng)的運(yùn)行和擴(kuò)建，對(duì)新的電力系統(tǒng)進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì)以及對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行靜態(tài)和暫態(tài)穩(wěn)定分析都是以潮流計(jì)算為基礎(chǔ)。即節(jié)點(diǎn)電壓和功率分布，用以檢查系統(tǒng)各元件是否過(guò)負(fù)荷。3 牛頓－拉夫遜法概述 牛頓拉夫遜法基本原理電力系統(tǒng)潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中的一種最基本的計(jì)算，是對(duì)復(fù)雜電力系統(tǒng)正常和故障條件下穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀態(tài)的計(jì)算。常用的方法是迭代法和牛頓法，在計(jì)算過(guò)程中，或得出結(jié)果之后用約束條件進(jìn)行檢驗(yàn)。這一約束的主要意義就在于此。節(jié)點(diǎn)的有功功率和無(wú)功功率應(yīng)滿足 (219)PQ節(jié)點(diǎn)的有功功率和無(wú)功功率，以及PU節(jié)點(diǎn)的有功功率，在給定是就必須滿足上述條件，因此，對(duì)平衡節(jié)點(diǎn)的P和Q以及PU節(jié)點(diǎn)的Q應(yīng)按上述條件進(jìn)行檢驗(yàn)。PU節(jié)點(diǎn)電壓幅值必須按上述條件給定。 潮流計(jì)算的約束條件 電力系統(tǒng)運(yùn)行必須滿足一定技術(shù)和經(jīng)濟(jì)上的要求?？梢赃x擇出線數(shù)多或者靠近電網(wǎng)中心的發(fā)電廠母線作平衡節(jié)點(diǎn)。Q，整個(gè)系統(tǒng)的功率平衡由這一節(jié)點(diǎn)承擔(dān)。對(duì)該節(jié)點(diǎn)，給定其電壓值，并在計(jì)算中取該節(jié)點(diǎn)電壓向量的方向作為參考軸，相當(dāng)于給定該點(diǎn)電壓向量的角度為零。通常選擇有一定無(wú)功功率儲(chǔ)備的發(fā)電機(jī)母線或者變電所有無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備的母線做PU節(jié)點(diǎn)處理。這類節(jié)點(diǎn)在運(yùn)行中往往要有一定可調(diào)節(jié)的無(wú)功電源。在潮流計(jì)算中，系統(tǒng)大部分節(jié)點(diǎn)屬于PQ節(jié)點(diǎn)。Q給定時(shí)，也作為PQ節(jié)點(diǎn)。所以，根據(jù)電力系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)性質(zhì)的不同，很自然地把節(jié)點(diǎn)分成三類：（1） PQ節(jié)點(diǎn)對(duì)這一類點(diǎn)，事先給定的是節(jié)點(diǎn)功率(P，Q)，待求的未知量是節(jié)點(diǎn)電壓向量(U，)，所以叫PQ節(jié)點(diǎn)。然而在電力系統(tǒng)中，給出發(fā)電機(jī)或負(fù)荷連接母線上電壓或電流(都是向量)的情況是很少的，一般是給出發(fā)電機(jī)母線上發(fā)電機(jī)的有功功率(P)和母線電壓的幅值(U)，給出負(fù)荷母線上負(fù)荷消耗的有功功率(P)和無(wú)功功率(Q)。（4）它是一組n個(gè)復(fù)數(shù)方程，因而實(shí)數(shù)方程數(shù)為2n個(gè)但方程中共含4n個(gè)變量：P，Q，U和，i=1，2，n，故必須先指定2n個(gè)變量才能求解。．取 ，得到潮流方程的極坐標(biāo)形式： (215)．取 ， ，得到潮流方程的直角坐標(biāo)形式： (216).取 ，得到潮流方程的混合坐標(biāo)形式： (217)不同坐標(biāo)形式的潮流方程適用于不同的迭代解法。（2）它是一組非線性方程，因而只能用迭代方法求其數(shù)值解。節(jié)點(diǎn)功率與節(jié)點(diǎn)電流之間的關(guān)系為 (213)式中，因此用導(dǎo)納矩陣時(shí)，PQ節(jié)點(diǎn)可以表示為把這個(gè)關(guān)系代入式中 ，得 （214）式（34 ）就是電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型潮流方程。圖24計(jì)算用的電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖圖25 潮流計(jì)算等值網(wǎng)絡(luò)采用導(dǎo)納矩陣時(shí)，節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓構(gòu)成以下線性方程組： (211)其中 ， ； 。因此可得各支路導(dǎo)納為： （210）由此可得用導(dǎo)納表示的變壓器型等值電路：圖23 變壓器型等值電路 潮流計(jì)算的基本方程在潮流問(wèn)題中，任何復(fù)雜的電力系統(tǒng)都可以歸納為以下元件（參數(shù)）組成。現(xiàn)在變壓器阻抗按實(shí)際變比歸算到低壓側(cè)為例,推導(dǎo)出變壓器型等值電路。從而，一般只要求求取這個(gè)矩陣的上三角或下三角部分。因此，一般情況下，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的對(duì)角元素往往大于非對(duì)角元素的負(fù)值。因此，與沒(méi)有接地支路的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行或列中，對(duì)角元素為非對(duì)角元素之和的負(fù)值。2) 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是稀疏矩陣，其各行非零非對(duì)角元素就等于與該行相對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連接的不接地支路數(shù)。根據(jù)定義直接求取節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣時(shí)，注意以下幾點(diǎn)：1) 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是方陣，其階數(shù)就等于網(wǎng)絡(luò)中除去參考節(jié)點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)數(shù)。注意字母幾種不寫法的不同意義：粗體黑字表示導(dǎo)納矩陣，大寫字母代矩陣中的第i行第j列元素，即節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的互導(dǎo)納。為支路的導(dǎo)納，負(fù)號(hào)表示該電流流出網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)可見。將節(jié)點(diǎn)電壓方程展開為：可見， (25)表明，自導(dǎo)納在數(shù)值上等于僅在節(jié)點(diǎn)i施加單位電壓而其余節(jié)點(diǎn)電壓均為零（即其余節(jié)點(diǎn)全部接地）時(shí)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)i注入網(wǎng)絡(luò)的電流。S 隨節(jié)點(diǎn)數(shù)n 的增加而增加：n=50，S可達(dá)92%；n=100，S 可達(dá)90%；n=500，S可達(dá)99%，充分利用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的稀疏性可節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存，加快計(jì)算速度，這種技巧稱為稀疏技術(shù)。（4）為稀疏矩陣，因節(jié)點(diǎn)i ，j 之間無(wú)支路直接相連時(shí)=0，這種情況在實(shí)際電力系統(tǒng)中非常普遍。利用這一性質(zhì)，可以檢驗(yàn)所形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的正確性。（2）對(duì)無(wú)接地支路的節(jié)點(diǎn)，其所在行列的元素之和均為零，即 。 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)及意義節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)：（1）為對(duì)稱矩陣，=?；?dǎo)納的這些性質(zhì)決定了節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是一個(gè)對(duì)稱稀疏矩陣。j=i)稱互導(dǎo)納，由此可得互導(dǎo)納數(shù)值上就等于在節(jié)點(diǎn)i施加單位電壓，其他節(jié)點(diǎn)全部接地時(shí)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)j注入網(wǎng)絡(luò)的電流，因此可定義為： (24)節(jié)點(diǎn)j，i之間的互導(dǎo)納數(shù)值上就等于連接節(jié)點(diǎn)j，i支路到導(dǎo)納的負(fù)值。i=1，2，…。自導(dǎo)納數(shù)值上就等于在i節(jié)點(diǎn)施加單位電壓，其他節(jié)點(diǎn)全部接地時(shí)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)i注入網(wǎng)絡(luò)的電流，因此，它可以定義為： （23）節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納數(shù)值上就等于與節(jié)點(diǎn)直接連接的所有支路導(dǎo)納的總和。節(jié)電導(dǎo)納矩陣的節(jié)點(diǎn)電壓方程： 展開為： (22)是一個(gè)n*n階節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，其階數(shù)就等于網(wǎng)絡(luò)中除參考節(jié)點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)數(shù)。設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)為（不含參考節(jié)點(diǎn)），則，均為n*n列向量。在電力系統(tǒng)中一般以地為參考節(jié)點(diǎn)。既無(wú)電源又無(wú)負(fù)荷的聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為零，帶有地方負(fù)荷的電源節(jié)點(diǎn)為二者代數(shù)之和。2 潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型 導(dǎo)納矩陣的原理及計(jì)算方法 自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的確定方法電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程： (21)式(21)為節(jié)點(diǎn)注入電流列向量，注入電流有正有負(fù)，注入網(wǎng)絡(luò)的電流為正，流出網(wǎng)絡(luò)的電流為負(fù)。(3) PSS/E 潮流計(jì)算程序美國(guó)PTI開發(fā)，70年代推向市場(chǎng)，目前已有40個(gè)國(guó)家200多家公司應(yīng)用該程序。(2) PSASP 潮流計(jì)算程序中國(guó)電力科學(xué)院開發(fā)。 國(guó)內(nèi)用得較多的幾種潮流計(jì)算軟件簡(jiǎn)介(1) BPA 潮流計(jì)算程序 美國(guó)幫涅維爾電力局（BPA，Bonneville Power Administration）開發(fā)，被中國(guó)電力科學(xué)院引進(jìn)吸收，從1984年開始在中國(guó)得到推廣應(yīng)用。由于電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)的一些特點(diǎn)，并且隨著電力系統(tǒng)不斷擴(kuò)大，潮流計(jì)算的方程式階數(shù)也越來(lái)越高，對(duì)這樣的方程式并不是任何數(shù)學(xué)方法都能保證給出正確答案的。電力系統(tǒng)潮流計(jì)算問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是一組多元非線性方程式求解問(wèn)題，其解法都離不開迭代。在這20年內(nèi)，潮流計(jì)算曾采用了各種不同的方法，這些方法的發(fā)展主要圍繞著對(duì)潮流計(jì)算的一些基本要求進(jìn)行的。 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算也分為離線計(jì)算和在線計(jì)算兩種，前者主要用于系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)和安排系統(tǒng)的運(yùn)行方式，后者則用于正在運(yùn)行系統(tǒng)的經(jīng)常監(jiān)視及實(shí)時(shí)控制。此外，電力系統(tǒng)潮流計(jì)算也是計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定和靜態(tài)穩(wěn)定的基礎(chǔ)。在電力系統(tǒng)規(guī)劃的設(shè)計(jì)和現(xiàn)有電力系統(tǒng)運(yùn)行方式的研究中，都需要利用潮流計(jì)算來(lái)定量地分析比較供電方案或運(yùn)行方式的合理性。潮流是確定電力網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)的基本因素，潮流問(wèn)題是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的基礎(chǔ)和前提。運(yùn)行方式管理中，潮流是確定電網(wǎng)運(yùn)行方式的基本出發(fā)點(diǎn)；在規(guī)劃領(lǐng)域，需要進(jìn)行潮流分析驗(yàn)證規(guī)劃方案的合理性；在實(shí)時(shí)運(yùn)行環(huán)境，調(diào)度員潮流提供了電網(wǎng)在預(yù)想操作情況下電網(wǎng)的潮流分布以校驗(yàn)運(yùn)行可靠性。靈活交流輸電技術(shù)是指運(yùn)用固態(tài)電子器件與現(xiàn)代自動(dòng)控制技術(shù)對(duì)交流電網(wǎng)的電壓、相位角、阻抗、功率以及電路的通斷進(jìn)行實(shí)時(shí)閉環(huán)控制，從而提高高壓輸電線路的輸送能力和電力系統(tǒng)的穩(wěn)定水平。這種由發(fā)電機(jī)、升壓和降壓變電所，送電線路以及用電設(shè)備有機(jī)連接起來(lái)的整體，即稱為電力系統(tǒng)。隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和城