計量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義第一講[共十講]-文庫吧資料
2025-07-02 12:10本頁面
【正文】 利用公式來估計總體方差時，我們實際上是對變量求樣本均值。但我們得到的這個擬合直線很可能與y與x的真實關(guān)系相去甚遠(yuǎn)，畢竟我們只有兩次觀測。筆記：舉一個極端的例子，對簡單線性回歸模型，假定我們只有兩次觀測、。例如，我們從總體中隨機(jī)抽取來計算以作總體均值的估計，現(xiàn)在x的自由度是N，顯然N越大則以作為總體均值的估計越精確。顯然，待估計的參數(shù)越多，則殘差的自由度越小。故殘差的自由度是N2?？紤]在樣本回歸直線下殘差的自由度問題。什么叫自由度？假設(shè)變量x可以自由地取N個值，那么x的自由度就是N。增加解釋變量將增加待估計的參數(shù)，在樣本容量有限的情況下，這并不一定是明智之舉。因此，RSS1小于或等于RSS2?，F(xiàn)在考慮對該優(yōu)化問題施加約束：并求解，則得到目標(biāo)函數(shù)值RSS2。為什么呢？舉一個例子。當(dāng)然，還有一個大前提，即我們所采用的估計方法是OLS。應(yīng)該注意到，我們在得到結(jié)論時利用了的性質(zhì)，而該性質(zhì)只有在擬合直線帶有截距時才成立，因此，如果擬合直線無截距，則上述結(jié)論并不一定成立，因此，此時我們不能保證R2為一非負(fù)值。證明：練習(xí)：（1）對于模型：，證明在OLS法下R2=0。因此，（三）關(guān)于R2的基本結(jié)論R2也是與的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方。（二）總平方和、解釋平方和與殘差平方和定義：其中TSS、ESS、RSS分別被稱為總平方和、解釋平方和與殘差平方和。R2也被稱為擬合優(yōu)度。因此，我們定義判定系數(shù)，顯然。方差分解亦是信息分解。四、 擬合程度的判斷（一）方差分解及其R2的定義可以證明。筆記：證明上式有兩種思路，一種思路是求解一個最優(yōu)化問題，我們所獲得的一個正規(guī)方程同樣是；另外一種思路是，模型是模型的特例，利用的結(jié)論，注意到此時，因此同樣有。無截距回歸公式的一個應(yīng)用：定義、則。然而，由于模型無截距，因此在OLS法下我們不能保證恒成立。值得指出的是，在本講義中，在沒有引起混淆的情況下，我們有時也用、來表示總體方差與協(xié)方差，不過上述公式同樣成立。上述定義的樣本協(xié)方差及其樣本方差分別是對總體協(xié)方差及其總體方差的有偏估計。練習(xí)：（1）驗證：提示：定義的離差為，則離差之和必為零。由正規(guī)方程（2），并結(jié)合正規(guī)方程（1）有：無論用何種估計方法，我們都希望殘差所包含的信息價值很小，如果殘差還含有大量的信息價值，那么該估計方法是需要改進(jìn)的！對模型利用OLS，我們能保證（1）：殘差均值為零；（2）殘差與
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