三角函數(shù)恒等變換含答案及高考題-文庫吧資料
2025-06-30 20:23本頁面
【正文】 圖像。cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xcosx+1 （x∈R）,（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinx解： (1)所以的最小正周期，因為，所以，當，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，所以成立，從而函數(shù)的圖像關于直線對稱。3．已知函數(shù)。2． 求函數(shù)的值域。sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2xcos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．解：因為，又sin2x＋cos2x=1，聯(lián)立得解這個方程組得2．求的值．解：原式3．若，求sinxcosx的值．解：法一：因為所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，聯(lián)立方程組，解得所以法二：因為所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有4．求證：tan2x（4）引入輔助角。（3）降次與升次。（2）項的分拆與角的配湊。cotx=tan45176。三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx等。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。（4）化弦（切）法。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。sin2x=tan2x－sin2x．證明：法一：右邊＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2xsin2x，問題得證．法二：左邊=tan2xcos2x=tan2x－sin2x，問題得證．5．求函數(shù)在區(qū)間[0，2p ]上的值域．解：因為0≤x≤2π，所以由正弦函數(shù)的圖象，得到所以y∈[－1，2]．6．求下列函數(shù)的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，則利用二次函數(shù)的圖象得到(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx，則則，利用二次函數(shù)的圖象得到7．若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的圖象的一個最高點為，它到其相鄰的最低點之間的圖象與x軸交于(6，0)，求這個函數(shù)的一個解析式．解：由最高點為，得到，最高點和最低點間隔是半個周期，從而與x軸交點的間隔是個周期，這樣求得，T=16，所以又由，得到可以取8．已知函數(shù)f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．數(shù)的值域．解：(Ⅰ)因為f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x所以最小正周期為π．(Ⅱ)若，則，所以當x=0時，f(x)取最大值為當時，f(x)取最小值為1． 已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。解：設，則原函數(shù)可化為
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