【正文】 密在他的著作《大匯編》的第十三篇中說(shuō)，在天文學(xué)上，人們應(yīng)尋求盡可能簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。圖 從探求真理的觀點(diǎn)來(lái)看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認(rèn)識(shí)到他的理論只是符合觀測(cè)結(jié)果的方便的數(shù)學(xué)化描述，而不一定是自然的真正設(shè)計(jì)。從喜帕恰斯時(shí)代起，人們就能預(yù)報(bào)月蝕，誤差不超過(guò)一兩小時(shí)，但對(duì)日蝕的預(yù)報(bào)卻不那么準(zhǔn)。托勒密也將這套方案加以變化來(lái)描述某些行星運(yùn)動(dòng)。對(duì)某些行星來(lái)說(shuō)，點(diǎn) S就是太陽(yáng)，但在其他情形下則只不過(guò)是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個(gè)點(diǎn)。在這種方案中，行星 P以 S為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而 S本身以地球 E為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于喜帕恰斯的工作我們只知道一點(diǎn)，他的工作也同樣地被《大匯編》引用。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》（第十二篇）中廣為引用。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學(xué)家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的《大匯編》一書(shū)里。這些球體，除了那個(gè)固定的恒星外，都不是物質(zhì)實(shí)體，而是數(shù)學(xué)的構(gòu)想。他的解答是歷史上第一個(gè)相當(dāng)完備的天文學(xué)理論。物理科學(xué)中最偉大的成就是在天文學(xué)上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學(xué)觀測(cè)，但卻強(qiáng)調(diào)說(shuō)他們沒(méi)有建立或統(tǒng)一理論，沒(méi)有對(duì)看上去無(wú)規(guī)律的行星運(yùn)動(dòng)作出解釋。有了這些證據(jù)和對(duì)更近代的數(shù)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r更充分的了解，我們也許可以肯定這一點(diǎn)，即科學(xué)探討必然會(huì)引起數(shù)學(xué)問(wèn)題，而數(shù)學(xué)是探索自然的一部分。實(shí)際上，希臘語(yǔ)中的球一詞，對(duì)畢達(dá)哥拉斯派的人來(lái)說(shuō)，就意味著天文學(xué)。因而關(guān)于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學(xué)實(shí)際上是一門(mén)更大的宇宙科學(xué)的一部分。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學(xué)的真理也是非常重要的。然而，就像僅憑二項(xiàng)展開(kāi)式定理就得出牛頓是一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家的結(jié)論，他們僅憑這兩部著作就得了這個(gè)論斷，視野未必過(guò)于狹窄。這些書(shū)的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數(shù)學(xué)成果，而省略了這些工作的動(dòng)機(jī)，定理的來(lái)源和提示及其應(yīng)用。這些著作似乎和揭示自然的真理無(wú)關(guān)，實(shí)際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學(xué)。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)從模糊的、經(jīng)驗(yàn)的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。三角學(xué)的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識(shí)。因?yàn)樵谙ＥD天文學(xué)中，行星和恒星沿大圓運(yùn)行，所以他們的三角學(xué)，主要應(yīng)用于行星和恒星的運(yùn)動(dòng)。三角學(xué)研究三角形邊、角的量化關(guān)系。三角學(xué)由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的描述。這一學(xué)科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯?，F(xiàn)在這些問(wèn)題可用微積分來(lái)解決。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對(duì)純幾何學(xué)知識(shí)增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。歐幾里得的《原本》是他對(duì)空間幾何的全部貢獻(xiàn)。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個(gè)人生活的全部。亞歷山大死于公元前 323年，但他發(fā)展新中心的計(jì)劃由其在埃及接受了托勒密王號(hào)的后繼者繼續(xù)。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。在時(shí)間上他們屬于希臘文化的第二個(gè)重要時(shí)期，亞歷山大里亞時(shí)期（公元前 300年—公元 600年）。到了亞里士多德時(shí)代，對(duì)演繹推理的要求已經(jīng)確定，因?yàn)樗U明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。雖然希臘人堅(jiān)持運(yùn)用演繹推理的原因很多，但還有一個(gè)問(wèn)題，即：是哪個(gè)哲學(xué)家或哲學(xué)派別首先提出這個(gè)要求的。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個(gè)部落）中，用商務(wù)來(lái)褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔(dān)任公職。柏拉圖認(rèn)為商貿(mào)活動(dòng)，對(duì)于自由人來(lái)說(shuō)是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務(wù)勞動(dòng)，甚至從事最重要的職業(yè)。古希臘人喜愛(ài)演繹法的另一個(gè)原因應(yīng)歸結(jié)于他們的社會(huì)構(gòu)成。哲學(xué)家們偏愛(ài)演繹推理還有一個(gè)原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識(shí)。那么看來(lái)，演繹證明是一種很?chē)?yán)格的要求。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學(xué)上不會(huì)被認(rèn)可。假設(shè)一位科學(xué)家在不同地區(qū)測(cè)量了一百個(gè)形狀大小不同的三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和在實(shí)驗(yàn)精度允許范圍內(nèi)都是 180176。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒(méi)有受過(guò)幾何學(xué)訓(xùn)練的奴隸也可以在適當(dāng)?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?lái)。學(xué)習(xí)就是一個(gè)收集的過(guò)程。因?yàn)閿?shù)學(xué)公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認(rèn)他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書(shū)中的比喻來(lái)說(shuō)，定理，就像關(guān)在鳥(niǎo)籠中的鳥(niǎo)。雖然幾乎所有希臘哲學(xué)家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點(diǎn)卻有些不同。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個(gè)命題不可能既真又假）及排中律（一個(gè)命題必須為真或假）。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會(huì)死這樣的結(jié)論。由一千只蘋(píng)果都是紅的而得出蘋(píng)果都是紅的這個(gè)結(jié)論，是歸納，不一定可靠。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。亞里士多德也的確指出公設(shè)無(wú)需一望便知其為真，但應(yīng)被其所推出的結(jié)果所支持。公設(shè)則適用于專業(yè)學(xué)科，如幾何學(xué)。相反，如果使用了一些并未證明是真理的事實(shí)，下一步推理就需要證明這些事實(shí)，而這一過(guò)程是無(wú)限循環(huán)的，那么這就變成了永無(wú)止境的回退。但亞里士多德并不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為公理是可理解的原理，符合思維而沒(méi)有什么可懷疑的。正如我們前面提到過(guò)的，他認(rèn)為存在一個(gè)真理的客觀世界。為了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念，希臘人從自明的、無(wú)人懷疑的公理入手。因而人們無(wú)法定義三等分角并證明有關(guān)它的定理，它可能并不存在。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來(lái)定義，而基本概念正如亞里士多德所說(shuō)應(yīng)該是不可定義的，否則就沒(méi)有起始點(diǎn)。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。希臘人明確地指出數(shù)學(xué)是處理抽象事物的。從而數(shù)學(xué)上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊界和光線的路徑。幸運(yùn)的是，人類由對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)得到的認(rèn)識(shí)可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實(shí)和思想的真實(shí)載體。怎樣達(dá)到這些目的？數(shù)學(xué)的本原應(yīng)是處理抽象對(duì)象。數(shù)學(xué)原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實(shí)，必然是一個(gè)真理體系。雖然希臘文明沒(méi)有完全脫離外界影響——希臘思想家們?cè)诎＜昂桶捅葌愑螝v學(xué)習(xí)——盡管現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)必須經(jīng)受希臘的理性氛圍的熏陶，希臘人的創(chuàng)造與他們所吸收的知識(shí)卻有天壤之別。這類數(shù)學(xué)的特點(diǎn)可用經(jīng)驗(yàn)主義一言蔽之。這些規(guī)則是由試探、錯(cuò)誤、經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學(xué)并不是一個(gè)獨(dú)立體系，它沒(méi)有形成一套方法，僅為了直接而實(shí)用的目的被研究。從廣義的、使用數(shù)字和幾何圖形這方面來(lái)看，數(shù)學(xué)早于古典時(shí)期希臘人的研究幾千年就開(kāi)始形成了。人們?cè)鯓訉で笳胬聿⒆C明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。希臘人這一重要思想的最大勝利是他們認(rèn)為宇宙是按可為人類思維所能發(fā)掘的數(shù)學(xué)規(guī)律運(yùn)行的。在這個(gè)經(jīng)典時(shí)期末期，上述觀點(diǎn)已經(jīng)確立，并且開(kāi)始了對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探求。對(duì)于鑄造和構(gòu)成了希臘思維世界的哲學(xué)家的短暫回顧也許有助于說(shuō)明為什么他們?yōu)榱肆私狻⑿蕾p更深層次的內(nèi)涵，都重視對(duì)實(shí)質(zhì)的探討。但數(shù)學(xué)概念和原理肯定是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，正因?yàn)槿绱?，它們也可用于現(xiàn)實(shí)世界。它也為物質(zhì)現(xiàn)象中觀察到的事實(shí)提供解釋?！彼槿∥矬w的明顯的感性特征，使之具體化并上升為獨(dú)立的精神上的概念。亞里士多德的確強(qiáng)調(diào)從實(shí)物中抽象出的普適的一般的性質(zhì)。物理學(xué)乃至一般的科學(xué)必須研究現(xiàn)實(shí)世界并從中獲取真理。他批評(píng)柏拉圖的冥世思想以及把科學(xué)歸結(jié)為數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。柏拉圖對(duì)航海、歷法和計(jì)時(shí)中的天文學(xué)的使用并不感興趣。天空中呈現(xiàn)出的各種圖形只可用作探索更深層真理的輔助圖表。在接觸這門(mén)真正的科學(xué)之前，我們必須拋開(kāi)“天體”，因?yàn)檎嬲奶煳膶W(xué)探求的是數(shù)學(xué)化宇宙中星體的運(yùn)動(dòng)定律，而可見(jiàn)的天體只是其不完美的表現(xiàn)形式。他認(rèn)為，這門(mén)學(xué)科研究的不是可見(jiàn)的天體的運(yùn)動(dòng)。但柏拉圖義憤地貶斥這種證明為幾何學(xué)的墮落；指責(zé)他們利用感性知識(shí)來(lái)取代純粹的推理。按此觀點(diǎn)將只有數(shù)學(xué)存在，數(shù)學(xué)將取代物理研究。柏拉圖比畢派前進(jìn)了一步，他不僅希望用數(shù)學(xué)來(lái)理解自然界，而且要用數(shù)學(xué)來(lái)取代自然界本身。數(shù)字關(guān)系也是現(xiàn)實(shí)的一部分，實(shí)際事物不過(guò)是數(shù)字的模擬體。”在《共和國(guó)》一書(shū)中，柏拉圖認(rèn)為“幾何學(xué)所要求的知識(shí)是永恒的，而不是轉(zhuǎn)瞬即逝或反復(fù)無(wú)常的。柏拉圖堅(jiān)持認(rèn)為只有從理想世界的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)在性和可知性，無(wú)疑這個(gè)世界是數(shù)學(xué)化的。永恒的知識(shí)只能從純粹理想的形式中獲得，這些思想實(shí)際上是永恒不變的?！庇捎诂F(xiàn)實(shí)可在感覺(jué)和實(shí)物中找到，因而柏拉圖認(rèn)為一匹馬、一間屋或者一個(gè)完美的女子并不真的存在。對(duì)于物質(zhì)世界我們只可能有觀點(diǎn)，可見(jiàn)、可感知的世界只是理想世界的一個(gè)模糊迷離、不完美的拷貝。物質(zhì)世界的事物及聯(lián)系是不完美、變化和衰落的，因而不能代表終極真理。我別無(wú)它求。（普洛塔庫(kù)斯簡(jiǎn)稱普，蘇格拉底簡(jiǎn)稱蘇）普：什么問(wèn)題？蘇：他們所說(shuō)的宇宙是不可推理、雜亂無(wú)序的，抑或像我們前人所認(rèn)為的是由極高的才華和智慧所控制和有序化的。他是雅典柏拉圖學(xué)園的創(chuàng)立者，這個(gè)學(xué)園是一個(gè)吸引了當(dāng)時(shí)一流思想家的中心，存在了九百年之久。繼畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之后，傳播這種主張最有影響的，當(dāng)屬由柏拉圖領(lǐng)導(dǎo)的柏拉圖學(xué)派。形狀、大小等只是原子的特性，其他性質(zhì)如味、熱則非原子所固有而來(lái)自觀察者，所以感性認(rèn)識(shí)不可靠，因它隨觀察者而異。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個(gè)物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。留基伯(Leuccipus)和德謨克里特(Democritus)由于更加清晰地確定了原子論而聞名于世。實(shí)際上現(xiàn)代科學(xué)也堅(jiān)持畢派對(duì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào)，雖然，正如我們將看到的，現(xiàn)代理論是畢派理論的更為高級(jí)的形式。畢派也未使物理科學(xué)的任一分支向前發(fā)展，可以公正地稱其理論為膚淺的。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的自然哲學(xué)很難與實(shí)際相吻合。亞里士多德在《形而上學(xué)》一書(shū)中，總結(jié)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)的現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)：他們似乎察覺(jué)到了存在的以及將要形成的事物在數(shù)方面的共性，而不僅僅表現(xiàn)在火、土和水上（這樣或那樣數(shù)字的修正是合法的，另一種是精神和推理，再一種則是機(jī)會(huì)——同樣幾乎所有的其他事物都可用數(shù)字表達(dá)）；又因?yàn)橐綦A的修正和比例可用數(shù)字表示；還由于其他事物在本質(zhì)上都能用數(shù)字來(lái)模式化，數(shù)字似乎是整個(gè)自然界的先驅(qū)。由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將天文學(xué)和音樂(lè)“歸結(jié)”為數(shù)，這兩門(mén)學(xué)科就同算術(shù)和幾何發(fā)生了聯(lián)系。我們看不到中心地球和反地球，因?yàn)槲覀兯幼〉哪遣糠值厍蚴潜吵鼈兊?。四象的四個(gè)數(shù)字之和為 10，所以十是個(gè)理想數(shù)，其代表宇宙?！彼麄冋J(rèn)為自然是由四元性組成的，點(diǎn)、線、面和立體。4這四個(gè)數(shù)，叫四象，是特別受重視的。但因這“天籟之音”也像所有諧音一樣可以推為數(shù)的關(guān)系，所以行星運(yùn)動(dòng)也是這樣。他們還認(rèn)為運(yùn)動(dòng)得快的物體比運(yùn)動(dòng)得慢的物體發(fā)出更高的音。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把行星運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也搞出了一個(gè)著名的音階。這時(shí)短弦發(fā)出的音比長(zhǎng)弦發(fā)出的音高五度。換言之，兩個(gè)音相差八度。有了這一后來(lái)的特性，我們可以明白菲洛羅斯(Philolaus)的論述：“如果沒(méi)有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解……”你不僅可以在鬼禪的事務(wù)上，而且在人間的一切行動(dòng)和思想上乃至在一切行業(yè)和音樂(lè)上看到數(shù)的力量。圖 圖 圖 圖 雖然歷史片斷沒(méi)有提供精確的年代數(shù)據(jù)，這一點(diǎn)卻是無(wú)疑的，即畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)展并完善了自己的認(rèn)識(shí)。他們提到三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)時(shí)，想到的是點(diǎn)集、晶狀體或點(diǎn)狀物體。但我們已經(jīng)得到了一種數(shù)字的抽象，而早期的畢達(dá)哥拉斯派并未做到。這種早期的畢達(dá)哥拉斯派思想是令人迷惑的。因而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“萬(wàn)物皆數(shù)也。數(shù)學(xué)是他們解釋自然的第一要素，所有物體都是由物質(zhì)的基本微?；颉按嬖趩卧备鶕?jù)不同的幾何形狀組成的。畢達(dá)哥拉斯派震驚于這樣一個(gè)事實(shí)，即由定性地看各種各樣的現(xiàn)象都表現(xiàn)出相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可推知數(shù)學(xué)性質(zhì)必定為這些現(xiàn)象的本質(zhì)。最早提出自然界數(shù)學(xué)模式的是以畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）為領(lǐng)袖的座落于意大利南部的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派?！鞭鸪逝?、神秘主義和對(duì)自然運(yùn)動(dòng)的雜亂無(wú)章的認(rèn)識(shí)，而代之以可理解的規(guī)律的決定性的一步是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。這些人敢于用思維來(lái)對(duì)待世界，拒絕依賴神靈、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也許能夠維護(hù)或毀滅自然現(xiàn)象的神秘力量。但他們的確拋棄了一些陳腐的神秘觀點(diǎn)，而代之以唯物主義的，對(duì)宇宙的設(shè)計(jì)和運(yùn)行的客觀解釋。愛(ài)奧尼亞人的自然哲學(xué)是一系列的大膽的觀察，敏銳的猜測(cè)和天賦的直覺(jué)，而不是廣泛而細(xì)致的科學(xué)研究的成果。因?yàn)樵?、霧、露、雨和雹是水的不同形態(tài)，而水是生命不可缺乏的，它滋潤(rùn)莊稼，養(yǎng)育動(dòng)物。這一時(shí)期的著名哲學(xué)家們，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克薩哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一個(gè)主旨去解釋宇宙的構(gòu)成。他們敢于詢問(wèn)并且發(fā)現(xiàn)了人類觀測(cè)到的最壯觀的景象的基本規(guī)律：朝升夕落的太陽(yáng)，陰晴圓缺的月亮，光彩奪目的行星，星漢燦爛的夜空，奇妙無(wú)比的日蝕、月蝕。簡(jiǎn)而言之，自然是按理性設(shè)計(jì)的，這種設(shè)計(jì)，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解。智者們終于得出了這樣的觀念：自然是有序的，按完美的設(shè)計(jì)而恒定地運(yùn)行著。這種態(tài)度是理性的、批判的和反宗教的。整個(gè)宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)是有計(jì)劃的嗎？植物、動(dòng)物、人類、星系、光和聲，僅僅是物理現(xiàn)象還是一個(gè)完美設(shè)計(jì)的一部分？由于希臘人總夢(mèng)想著提出新見(jiàn)解，所以他們建立了后來(lái)統(tǒng)治整個(gè)西方思想中關(guān)于宇宙的概念。他們以思維與似乎瞬息萬(wàn)變的宇宙現(xiàn)象抗?fàn)?，將理性之光灑于其上。他們的精神領(lǐng)袖（如果不是普通民眾）摒棄了傳統(tǒng)觀念、超自然力、迷信、教條和其他思想束縛。這些極少的偶然的觀察沒(méi)有改變他們對(duì)自然的態(tài)度。自然現(xiàn)象是無(wú)法解釋的，或者是神的意志決定的，只有用祈禱、祭祀和其他宗教儀式來(lái)解脫。他們的主要的、決定性地影響了后代文明的貢獻(xiàn)是接受了對(duì)推理的最強(qiáng)有力的挑戰(zhàn)，知道了自然界有規(guī)律可言。但是，我們所知的在約公元前 600年以前的希臘歷史過(guò)于零碎，無(wú)法作出明確的解釋。把推理用于人類活動(dòng)和思維的始祖曾生活在愛(ài)奧尼亞——古希臘人在小亞細(xì)亞的一個(gè)定居處。正是古典時(shí)期（公元前 600年至前 300年間的鼎盛時(shí)期）的希臘人，認(rèn)識(shí)到人類有智慧、有思維（有時(shí)佐以觀察或?qū)嶒?yàn)），能夠發(fā)現(xiàn)真理。只有古希臘文明是個(gè)例外。思索的人們盡管不能，但總是試圖去理解復(fù)雜多變