等比數(shù)列及前n項和-文庫吧資料
2025-05-06 04:33本頁面
【正文】 ?????12n － 1＝ 25 － n. 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì) ，特別是性質(zhì) “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，則 a m 長沙模擬 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 1 ， a2＝ 2 ， an ＋ 2＝an＋ an ＋ 12， n ∈ N*. (1) 令 bn＝ an ＋ 1－ an，證明： { bn} 是等比數(shù)列； (2) 求 { an} 的通項公式． [ 審題視點 ] 第 (1) 問把 bn＝ an ＋ 1－ an中 an ＋ 1換為an － 1＋ an2整理可證；第 (2) 問可用疊加法求 an. ( 1) 證明 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1. 當(dāng) n ≥ 2 時， b n ＝ a n ＋ 1 － a n ＝a n － 1 ＋ a n2－ a n ＝－12( a n － a n － 1 ) ＝－12b n －1 ， ∴ { b n } 是以 1 為首項，－12為公比的等比數(shù)列． (2) 解 由 (1) 知 bn＝ an ＋ 1－ an＝??????－12n － 1， 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 1＋??????－12＋ ? ＋??????－12n － 2 ＝ 1 ＋1 －??????－12n － 11 －??????－12＝ 1 ＋23 ??????1 －??????－12n － 1 ＝53－23 ??????－12n － 1. 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． 【訓(xùn)練 2 】 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項和 Sn＝ 2 an＋ 1 ，求證： { an} 是等比數(shù)列，并求出通項公式． 證明 ∵ Sn＝ 2 an＋ 1 ， ∴ Sn＋1＝ 2 an＋1＋ 1. ∴ an＋1＝ Sn＋1－ Sn ＝ (2 an＋1＋ 1) － (2 an＋ 1) ＝ 2 an＋1－ 2 an. ∴ an＋1＝ 2 an， 又 ∵ S1＝ 2 a1＋ 1 ＝ a1， ∴ a1＝－ 1 ≠ 0. 又由 an＋1＝ 2 an知 an≠ 0 ， ∴an＋1an＝ 2. ∴ { an} 是等比數(shù)列． ∴ an＝－ 1 2n － 1＝－ 2n － 1. 考向三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例 3 】 ? 在等比數(shù)列 { an} 中， an＞ 0( n ∈ N*) 公比 q ∈ ( 0,1) ，且a1a5＋ 2 a3a5＋ a2a8＝ 25 ， a3與 a5的等比中項為 2 ，求數(shù)列 { an} 的通項公式． [ 審題視點 ] ( 1) 由已知條件可得 a1與公比 q 的方程組，解出 aq ，再利用通項公式即可得 a a5，即而求出 an. ( 2) 也可利用性質(zhì) a23＝ a1??????12n － 1＝13 a4＝ a1 3n － 1， Sn＝ 3n－ 1. 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n 一般可以 “ 知三求二 ” ，通過列方程 ( 組
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