電子科技大學(xué)矩陣?yán)碚?文庫(kù)吧資料
2025-05-06 02:35本頁(yè)面
【正文】 )( 收斂是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???kkA返回 )N e u m a n n(5 定理定理 級(jí)數(shù)的方陣 N e u m a n nA.)(,1)( 1??? AIAr 其和為且收斂時(shí)收斂的充要條件是20kkkA E A A A??? ? ? ? ? ??E返回 6定理 設(shè)冪級(jí)數(shù)則矩陣冪滿足如果方陣收斂半徑為 ,)(, rArAr ????? 0)(kkk zczf??? 0kkk Ac級(jí)數(shù) 。)(lim)1( )()( BABA kkk???? ??????。 5 矩陣的奇異值分解 定理 1 則有設(shè) ,nmrCA ??)()()()1( HH AAr a n kAAr a n kAr a n k ??的特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)、 HH AAAA)2(.)3( 的非零特征值相同、 HH AAAA定義 1 的特征值為設(shè) AACA Hnmr ,??0121 ??????? ? nrr ????? ??.),2,1( 的正奇異值為則稱 Ariii ??? ??返回 定義 2 如果存在酉矩陣、設(shè) ,nmCBA ??使得和 ,nnmm CVCU ?? ??U B VA ?.酉等價(jià)與則稱 BA定理 2 有相同正與酉等價(jià)，則與若 BABA.奇異值返回 定理 3 個(gè)正的是設(shè) rACArnmr ??? , 21 ???,nnmm CVCU ?? ?? 和VDUA ???????000奇異值，則存在酉矩陣使得12, ( , , , ) .rD d i a g ? ? ??其中返回 特征值界的估計(jì) 定理 1 (Shur不等式 ) 的特征值為設(shè) nnCA ??21 1212 ||||||||Fninjijnii Aa ?? ???? ???則, 21 n??? ?.為正規(guī)矩陣且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) A返回 11( ) ( ) , ( ) ( )22HHi j i jB b A A C c A A? ? ? ? ? ?},{, 21 nCBA ??? ?的特征值分別為且滿足},{},{ 2121 nn iii ?????? ??|,||||| 21 n??? ??? ?12 ,n? ? ?? ? ?12 .n? ? ?? ? ?返回 定理 2 (Hirsch) 的特征值為設(shè) nnCA ??則,2 n?? ?,1?|,|m a x||)1, ijjiian?? |,|m a x|Re|)2, ijjiibn??|,|m a x|Im|)3, ijjii??定理 3 (Bendixson) 的任一特則設(shè) ARA nn ,??滿足值 i?||m a x2)1(|Im|,ijjii cnn ???返回 定理 4 則定義同上設(shè) ,iiinn CBCA ?????11 Im,Re ?????? ???? inin定理 5(Browne): 的特征值為設(shè) nnCA ??則奇異值為 , 212 nn ????? ??? ??,1?),2,1(|| 1 niin ???? ???返回 2 圓盤定理 { : | | | |}i ii i ijjiS z C z a R a?? ? ? ? ? ?定義 1 () nnijA a C ???設(shè)行蓋爾圓盤 { : | | | |}i ii i jijiG z C z a C a?? ? ? ? ? ?列蓋爾圓盤 定理 1 (圓盤定理 1) nnA C A??設(shè) , 則 的任一特征值1njjSS? ???返回 定理 2 (圓盤定理 2) n A n設(shè) 階方陣 的 個(gè)蓋爾圓盤中kG有 個(gè)圓盤的并形成一連通區(qū)域 ，且它與余下n k G的 個(gè)圓盤都不相交，則在該區(qū)域 中恰好有Ak的 個(gè)特征值.返回 推論 2 nnA C A??設(shè) , 則 的任一特征值11( ) ( )nni i jijSG????推論 3 n A n設(shè) 階方陣 的 個(gè)蓋爾圓盤兩兩互不相交，.A則 相似于對(duì)角陣推論 4 n A n設(shè) 階實(shí)陣 的 個(gè)蓋爾圓盤兩兩互不相交，.A則 特征值全為實(shí)數(shù)返回 12( , , , ) , ( 0)niD d i a g p p p p??令1D A D?211 12 111121 22 2221212nnnnn n n nnnppa a appppa a appppa a app???????????????????????返回 11| | ,jni iji jjir a pp??? ?1||,jnijjiiijatpp??? ?定理 2 nnA C A??設(shè) , 則 的任一特征值11( ) ( )nni i jijQP????{ : | | }i ii iQ z C z a r? ? ? ?{ : | | }j j j jP z C z a t? ? ? ?返回 1| | | | ( 1 , 2 , , )nii i ijjjia R a i n??? ? ??定義 2 nnAC ??設(shè)行對(duì)角占優(yōu) 列對(duì)角占優(yōu) 1| | | | ( 1 , 2 , , )nii i jijjia C a i n??? ? ??1| | | |nii i ijjjia R a???? ?行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) 列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) 1| | | |nii i jijjia C a???? ?返回 定理 4 nnAC ??設(shè) 行 (或列 )嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) ，則 1( 1 ) ( { : | | | | } )ni i i ii iiiA S S z C z a a??? ? ? ? ?可逆，且(2)若 A的所有主對(duì)角元都為正數(shù)，則 A的特征值都 有正實(shí)部； (3)若 A為 Hermite矩陣，且所有主對(duì)角元都為正數(shù)， 則 A的特征值都為正數(shù) . 返回 167。 3 Hermite矩陣及其分解 定義 1 ,n n HA C A A A H e r m it e?? ? ? 是 矩陣( 1 ) ( , ) ( , ) , , nA A C? ? ? ? ? ?? ? ?,n n HA C A A A H e r m i t e?? ? ? ? 是反 矩陣 2. Hermite 矩陣的基本性質(zhì) ( , ) ( ) HAA? ? ? ?? HHA??? H A???( , )A???返回 ( 2) , ( )iiRA? ? ?? ? ?( 3 ) , , ( , ) 0i i i j j j i j i jA x x A x x x x? ? ? ?? ? ? ? ?00( 4 ) 0 0 , ( )0 0 0prpEA E ra nk A r???????????與 矩 陣 合 同 其 中10( 5 ) , .0HnU A U U??????? ????其中 為酉矩陣返回 3. 正定 Hermite矩陣的基本性質(zhì)與分解 返回 返回 返回 定理 1 , , ,n n HA B C A B BT???設(shè) 為正定矩陣, 則存在可逆矩陣 使得,.HH nT A T E T B T D??返回 167。 1?U 也是酉矩陣 . 21UU返回 返回 返回 返回 返回 返回 定義 3： 定理 3： 二、任意矩陣的三角分解 返回 定理 4： 返回 定理 5： 返回 167。 21 RR 21RR21 RR R 的逆 也是上三角矩陣 ,且對(duì)角 元是 R 對(duì)角元的倒數(shù) 。 返回 定理 3 是一相容的矩如果 RC nnm ?? ?:||||mi A |||||| ??，有陣范數(shù)，則對(duì)任一 nnCA ??.的特征值是其中， Ai?返回 例 4 的算子范數(shù)為從屬于向量范數(shù)1|||| x)||(m a x||||11 ???niijj aA.被稱為極大列和范數(shù)二、算子范數(shù) 的計(jì)算 : 例 5 的算子范數(shù)為從屬于?|||| x)||(m a x||||1??? ?njiji a
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