【正文】 返回 第二章 向量與 矩 陣的范數(shù) 返回 1 向量的范數(shù) ；0||0||)1( ?向量范數(shù)的性質(zhì)：1定義.|||| 的范數(shù)上向量為則稱映射 xC n?。0||||0,0||||)1( ??? xxx 時，當且僅當正定性滿足：映射設(shè) RC n ?? ||:||。,||,||||||||)2( nCxRxx ??? ????齊次性.,||,||||||||||)3( nCyxyxyx ?????三角不等式。1||||||1||0)2( ?? xxx 時，返回 ||。||||||)3( xxCx n ??? ，有對任意.||||||||||||||,)4( yxyxCyx n ???? ，有對任意1例 12() nnx x , x , , x C??設(shè) ，則11( 1)nii|| x || | x |?? ? 范數(shù)?11( 3 ) iin| | x | | m a x | x |? ???2 1 221( 2 ) ( )n/ii|| x || | x |?? ? 范數(shù)?2無窮范數(shù)返回 2例1/1| | | | ( | | ) 1npppiix x p?? ? ? ??12( , , , ) nnx x x x C??設(shè) ，則.l d e roH .. 范數(shù)上的向量范數(shù)，稱為是 nC..1 ( H o l d e r )定理 不等式 11, 1 1pqpq? ? ?若 ，且 ，1 2 1 2( , , , ) , ( , , ,)nTnTnC x x x x y y yy??則對 任意向量都有1 / 1 /1 1 1| | | | ( | | ) ( | | )n n np p q qi i i ii i ix y x y? ? ???? ? ?返回 定義 2 兩種向上定義了在設(shè)ban xxPV ||||,||||)(，使得量范數(shù)，若存在常數(shù) 0,0 21 ?? CC12| | | | | | | | | | | | ( )a b a nC x x C x x V P? ? ? ?.|||||||| 等價與則稱 ba xx定理 3 .)( 均等價上的任意兩個向量范數(shù)PVn定理 2 ，則上的范數(shù)，是設(shè) nmnm CAC ??? ||||.|||| 上的范數(shù)是 nCA ?返回 定義 3 ，如果設(shè) nTknkkk Cxxxx ?? ),( )()(2)(1)( ?),2,1(lim )( niax ikik?????).,( 21)( nk aaaax ??收斂于則稱向量序列定義 4 ax kk???)(lim 0||||l i m )( ????ax kk定理 4 ax kk???)(lim 0||||l i m )( ????ax kk上的任一向量范數(shù)，則是設(shè) nC|||| ?返回 167。 2 矩陣的范數(shù) 定義 1 RPPA nmnm ??? ?? ：，若映射設(shè) ||||滿足.|||| 上的矩陣范數(shù)為則稱映射 nmp ??。0||||,0||||)1( ??? AAA 時，當且僅當正定性 ?( 2 ) | | | | | | | | | | , , 。mnA A P A P? ? ? ?? ? ? ? ?齊 次 性.,||,||||||||||)3( nmPBABABA ??????三角不等式返回 例 1 ，則設(shè) nmPA ??? ?? ??njmiijm aA1 1|||||| 1211 12 )||(||||2 ? ?? ??njmiijm aAnjmiaA ijjim?????? 11|}{|m a x||||,返回 定義 2 ,:||||,:|||| RPRP nlblma ???? ??設(shè)是矩陣范數(shù)，如果RP nmc ?? ?:||||bac BAAB |||||||||||| ??.||||||||,|||| 相容和則稱矩陣范數(shù) cba ???如果|||||||||||| BAAB ??.|||| 是自相容矩陣范數(shù)則稱 ?返回 例 2 njmiaA ijjim ?????? 11|}{|m a x|||| ,.是不相容的矩陣范數(shù)例如 ?????????2222AB2|||| ??mAB ?? 1|||||||| ??? mm BA??????????1111BA返回 例 3 .||||||||21 是相容的矩陣范數(shù)和 mm ??返回 定理 3 ,nnPA ??設(shè)則若 ),()1( 21 naaaA ??????niimF aAA12222 ||||||||||||2.|||| 22 iHii aaa ?其中，????niHiHm AAAAtrA12 )()(||||)2(2 ?，有、對任意的酉矩陣 nnPVU ??)3(222222 |||||||||||| mHmHm UA VAVUA ??返回 推論 1 ,nnPA ??設(shè) ，、對任意的酉矩陣 nnPVU ??有2222 |||||||||||||||| mmmm U A VAVUAA ???返回 一、 算子范數(shù) 定義 1 是上的向量范數(shù)，是設(shè)mna P |||||||| ??上的矩陣范數(shù)，且nnP ?ama xAAx |||||||||||| ?.|||||||| 相容的矩陣范數(shù)為與向量范數(shù)則稱 am ?? 3. 算子范數(shù) 返回 例 1 .|||| 1 相容的矩陣范數(shù)是與向量范數(shù) ?，則設(shè) nnn PAPx ??? ,? ?? ??njniijm aA1 1|||||| 1例 2 .相容的矩陣范數(shù)2||||||||, 2 xAPAPx mnnn 是與，則設(shè) ???返回 定理 1 則上的向量范數(shù)是設(shè) ,|||| nnna PAPx ??aaxa xAxA||||||||m a x||||???|| || 1( m a x | | | | )a au Au??.|||| 相容的矩陣范數(shù)是與向量范數(shù) ax推論 1 ,|||| nnna PBAPx ??、上的向量范數(shù)是設(shè)容的的算子范數(shù)，則它是相是從屬于 aa xA ||||||||矩陣范數(shù)，即aaa BAAB |||||||||||| ??返回 算子范數(shù)的特性： 相容的矩陣范數(shù)中它是所有與向量范數(shù) ax ||||)1.最小的|||||||| ||||m a x|||| AxAxAaaxa??? ?它的兩種表達形式)2aaxa xAxA||||||||m a x||||???| | | | 1( m a x | | | | )a au Au??3 ) .陣 數(shù) 論它是自相容矩 范 ( 推 1 )返回 定理 2 存在向量是相容的矩陣范數(shù)，則設(shè)m|||| ?，使范數(shù) |||| x|||||||||||| xAAx m ??P63頁， 相容的矩陣范數(shù) 一定存在與之相容 的向量范數(shù)。 返回 定理 3 是一相容的矩如果 RC nnm ?? ?:||||mi A |||||| ??，有陣范數(shù)，則對任一 nnCA ??.的特征值是其中， Ai?返回 例 4 的算子范數(shù)為從屬于向量范數(shù)1|||| x)||(m a x||||11 ???niijj aA.被稱為極大列和范數(shù)二、算子范數(shù) 的計算 : 例 5 的算子范數(shù)為從屬于?|||| x)||(m a x||||1??? ?njiji aA.被稱為極大行和范數(shù)返回 例 6 的算子，則從屬于設(shè)2|||| xPA nm ??為范數(shù)（又稱為譜范數(shù)）)(|||| 2 AArA H?定義 2 的特征值，則是，設(shè) ACAinn ???.的譜半徑稱為 A||m a x)(iiAr ??返回 定理 4 ，則設(shè) nnCA ??2222 ||||||||||||||||)1( AAAA TH ???2222 ||||||||||||)2( AAAAA HH ??都有及階酉矩陣對任何 VUn)3(2222 |||||||||||||||| AU A VAVUA ??? 三、 譜范數(shù)的性質(zhì) 返回 定理 5 ，則設(shè) nnCA ??||m a x||||)1(1||||||||2AxyA Hyx ????? ||||||||||||)2( 122 AAA返回 第三章 矩陣的分解 返回 167。 1 矩陣的三角分解 一