電子科技大學(xué)矩陣?yán)碚?資料下載頁(yè)
2025-04-30 02:35本頁(yè)面
【正文】 1 GGGEB r., 222112 為任意矩陣其中 GGG返回 4定理 , QPCA nmr 和則存在可逆矩陣設(shè) ??則或使得 ,21 BP A QBP A Q ??。)1( 11 PQBABP AQ ?? ?? 時(shí)，當(dāng)?shù)膹V義逆矩陣的是時(shí)當(dāng) AGBP A Q ,)2( 2?.2 PQBG ??充要條件是返回 5 M P廣義逆矩陣 A+ 1定義,A G A A G A G G??mn nmA C G C? ???設(shè) ，如果有 ，使得.MPG A G A ?? ?廣義逆則稱 是 的 矩陣，記為( ) , ( )HHA G A G G A G A??1定理11( ) ( )H H H HG D D D B B B???.A M P A ??就是 的 廣義逆矩陣設(shè) 是 A的最大秩分解則 ,mnA C A B D???2定理 .mnA C A???設(shè) ，則 是唯一的返回 3定理 mnAC ??設(shè) ，則有( 1 ) ( ) 。AA?? ?( 2 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 。T T H HA A A A? ? ? ???( 3 ) ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A? ? ???( 4 ) ( ) ( ) 。HR A R A? ?() ()( 5 ) , 。HRA RAA A P A A P????( 6 ) ( ) ( ) .HR A R A A A A A???返回 ( 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A A? ? ? ? ? ???4定 理 mnAC ??設(shè) ，則有( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。H H H H HA A A A A A A A A A? ? ? ? ???( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A A A A? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) .H H H HA A A A A A A A A A? ? ???返回 一 、 最 大 秩 分 解 法6 A+的計(jì)算方法 1引理。)(,)1 1?? ? HH AAAAA 則是行滿秩矩陣如果，則設(shè) nmCA ??.)(,)2 1 HH AAAAA ?? ?則是列滿秩矩陣如果??? ? BDA1定理 的最大秩是設(shè) ABDACA nmr ?? ? ,則分解 ,返回 為設(shè)矩陣 A1例1 3 2 1 42 6 1 0 73 9 3 1 1 1A?????????.?? APMA 廣義逆矩陣的求:解 :)1( BDAA ?的最大秩分解求121 3 0 1 / 3 1 0 / 32 1 ,0 0 1 2 / 3 1 / 333BD????????? ??????????返回 :)2( ?? DB 和計(jì)算1()HHD D D D???HH BBBB 1)( ?? ? 4 5 115 1 19???? ?????10309012901 / 3 2 / 310 / 3 1 / 3??????????????????返回 :)3( ??? ? BDA計(jì)算32 34 296 102 63329 268 61290230 190 403 24 27A???????????? ??????????返回 ( 1 ) : ( )A B B A? ? ??舉例說(shuō)明下列結(jié)論不成立： ( ) ( ) ,???kkAA(2) 其中 k是正整數(shù) . 11( 3 ) , , ( )P Q P A Q Q A P? ? ? ??若 為可逆矩陣返回 二 、 奇 異 值 分 解 法1定理 的奇異值分解為設(shè) nmrCA ??UDVVDUA r ??????????000則有。)1( HH UDVA ?? ?。1||||)2(1 22 ???? ri iFA?}{m i n1||||)3(12iriA???? ?返回 3定理 的是設(shè) Hinm AAriCA ),2,1(, ??? ? ?iHi AArir ?? 對(duì)應(yīng)于是個(gè)非零特征值 ),2,1(, ??),(, 1 rr d i a g ??? ??記的特征向量單位正交則有),( 211 rU ??? ??HrH UUAA 111 ?? ? ?返回 7 廣義逆矩陣的應(yīng)用 1定理DAXB ?m n p q m qA C B C D C? ? ?? ? ?設(shè) ， ， ，使得和有解的充要條件是存在 ?? BAA A D B B D?? ?則矩陣方程一、矩陣方程的通解 返回 的通解為方程在有解的條件下，矩陣成立 DAXB ?..pnCYAY BBAYDBAX ????? ?????1推論 DAXCDCA pmnm ??? ?? 則，設(shè)的通解為此時(shí)成立 DAX ?.DDAA ??.pnCYYAAYDAX ??? ?????，使得有解的充要條件是存在 ?A返回 2推論 DXBCDCB npnm ??? ?? 則，設(shè).mpCYY BBYDBX ??? ?????bAxCbCA nmnm ??? ?? 則方程組，設(shè) ,bbAA ??，使得有解的充要條件是存在 ?BDBDB ??的通解為此時(shí)成立 DXB ?.3推論，使得有解的充要條件是存在 ?A.)( nn CuuAAEbAx ????? ??的通解為此時(shí)成立 bAx ?.返回 { 1 , 3 } { | , ( ) }HA G A G A A G A G A? ? ?. 方程組 Ax=b有解 ,則稱此方程組為 相容方程組。 定義 二 . 相容方程的最小范數(shù)解 定義 1 設(shè)方程組 Ax=b有解時(shí)，將所有的解中 范數(shù)最小的解稱為最小范數(shù)解。 返回 定理 ,則 Db是相容方程組 Ax=b的最小范數(shù)解，并且方程組的最小 范數(shù)解唯一 . { 1 , 3 }DA?,?? ? ?n m mD C b C D b令理 定 是 相 容 方組 Ax=b的最小范數(shù)解， { 1 , 3 } .DA?返回 . 三 不相容方程組的解22000, ( ) | | | | ,( ) , ,.A x b f x A x b xf x x? ? ?如果 不相容 令 存在使得 最小 稱 為方程組的最小二乘解這種問(wèn)題稱為最小二乘問(wèn)題定理： 設(shè) G∈ A{1,4}, 則 Gb是不相容 方程組 Ax=b的最小二乘解。 返回 引理 x是不相容方程組 Ax=b的最小 二乘解的充要條件為 Ax=AGb. 定理 不相容方程組 Ax=b的最小二乘解的 通解 ( ) , .nx G b E A A u u C?? ? ? ? ?:, A x b x A b A x b?? ? ?定理 不相容方程 是的最佳逼進(jìn)解 返回 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4:2 4 32 2 02 2 3? , 。x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??例 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組是否有解 如果有解 求通解和最小范數(shù)解如果無(wú)解,求 最小二乘解和最佳逼進(jìn)解. 2 4 31 2 , 01 2 3Ab? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?11解 1 2 2 1返回 1 : :211 2 0 11 1 ,0 0 1 112ste p A A B DBD???????? ? ? ????????????求 的最大秩分解112:( ) ( )?????H H H Hst e p AAD D D B B B求 2 1 14 2 211 5 6331 6 5?????????????????返回 3 : .s t e p A A b b? ?檢驗(yàn) 是否成立121??????? ? ???????A A b A A b b.A x b?故 是不相容的方程返回 4 : .s t e p 求最小二乘解的通解及最佳逼進(jìn)解 121( ) ( )5116x A b E A A u E A A u? ? ???????? ? ? ? ? ??????????:最佳逼進(jìn)解:通解1215116x A b??????????????????
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