高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版課程講解13函數(shù)的極限-文庫吧資料
2025-04-10 05:19本頁面
【正文】 ε），則稱x→∞時，f（x）以A為極限，記為f（x）=A．例1 證明=0．證 由于=≤，故ε＞0，要使＜ε，只要＜ε，即x＞．因此，ε＞0，可取X=，則當(dāng)x＞X時，＜ε，故由定義1得=0．例2 證明．證 ε＞0，要使=10x＜ε，只要x＜lgε．因此可取X =｜lgε｜+1，當(dāng)x＜X時，即有｜10x0｜＜ε，故由定義1得10x=0．定義2 若ε＞0，X＞0，當(dāng)｜x｜＞X時，相應(yīng)的函數(shù)值f （x）∈U （A，ε）（即|f(x)A|ε），則稱x→∞時，f（x）以A為極限，記為f（x）=A．為方便起見，有時也用下列記號來表示上述極限： f（x）→A （x→+∞）；f（x）→A （x→∞）；f（x）→A （x→∞）．注 若，則稱為曲線的水平漸近線．由定義定義2及絕對值性質(zhì)可得下面的定理．定理1 f（x）=A的充要條件是f（x）=f（x）=A．例3 證明=1．證 ε＞0，要使=＜ε，只需｜x+1｜＞，而｜x+1｜≥｜x｜1，故只需｜x｜1＞，即｜x｜＞1+．因此，ε＞0，可取X=1+，則當(dāng)｜x｜＞X時，有＜ε，故由定義2得=1．二、x→x0時函數(shù)的極限現(xiàn)在我們來研究x無限接近x0時，函數(shù)值f（x）無限接近A的情形，它與x→∞時函數(shù)的極限類似，只是x的趨向不同，因此只需對x無限接近x0作出確切的描述即可．以下我們總假定在點x0的任何一個去心鄰域內(nèi)都存在f（x）有定義的點．
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